MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk5lem Structured version   Unicode version

Theorem numclwwlk5lem 24774
Description: Lemma for numclwwlk5 24775. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
numclwwlk.f  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5lem  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  2  ||  ( K  -  1 )  /\  X  e.  V )  ->  ( ( # `  ( X F 2 ) )  mod  2 )  =  1 )
Distinct variable groups:    n, E    n, V    w, C, n, v    n, X, v, w    v, V    w, E    w, V    w, F    v, E    v, K
Allowed substitution hints:    F( v, n)    K( w, n)

Proof of Theorem numclwwlk5lem
StepHypRef Expression
1 numclwwlk.c . . . 4  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
2 numclwwlk.f . . . 4  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
31, 2numclwwlkovf2num 24748 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  X  e.  V
)  ->  ( # `  ( X F 2 ) )  =  K )
433adant2 1010 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  2  ||  ( K  -  1 )  /\  X  e.  V )  ->  ( # `  ( X F 2 ) )  =  K )
5 oveq1 6282 . . 3  |-  ( (
# `  ( X F 2 ) )  =  K  ->  (
( # `  ( X F 2 ) )  mod  2 )  =  ( K  mod  2
) )
6 rusgraprop 24591 . . . . . 6  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
7 2prm 14081 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  Prime
8 nn0z 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
9 modprm1div 14172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  mod  2
)  =  1  <->  2 
||  ( K  - 
1 ) ) )
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( K  mod  2 )  =  1  <->  2  ||  ( K  -  1
) ) )
1110biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2 
||  ( K  - 
1 )  ->  ( K  mod  2 )  =  1 ) )
12113ad2ant2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( 2  ||  ( K  -  1
)  ->  ( K  mod  2 )  =  1 ) )
136, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( 2  ||  ( K  -  1 )  ->  ( K  mod  2 )  =  1 ) )
1413imp 429 . . . 4  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  2  ||  ( K  -  1 ) )  ->  ( K  mod  2 )  =  1 )
15143adant3 1011 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  2  ||  ( K  -  1 )  /\  X  e.  V )  ->  ( K  mod  2
)  =  1 )
165, 15sylan9eq 2521 . 2  |-  ( ( ( # `  ( X F 2 ) )  =  K  /\  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  2  ||  ( K  -  1 )  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( # `
 ( X F 2 ) )  mod  2 )  =  1 )
174, 16mpancom 669 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  2  ||  ( K  -  1 )  /\  X  e.  V )  ->  ( ( # `  ( X F 2 ) )  mod  2 )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   {crab 2811   <.cop 4026   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   0cc0 9481   1c1 9482    - cmin 9794   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853    mod cmo 11952   #chash 12360    || cdivides 13836   Primecprime 14065   USGrph cusg 23993   ClWWalksN cclwwlkn 24411   VDeg cvdg 24555   RegUSGrph crusgra 24585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-hash 12361  df-word 12495  df-lsw 12496  df-dvds 13837  df-prm 14066  df-usgra 23996  df-nbgra 24082  df-clwwlk 24413  df-clwwlkn 24414  df-vdgr 24556  df-rgra 24586  df-rusgra 24587
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  24775
  Copyright terms: Public domain W3C validator