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Theorem numclwwlk5 25919
 Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c ClWWalksN
numclwwlk.f
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5 RegUSGrph FriendGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem numclwwlk5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1033 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph
2 simpr3 1038 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
3 simpr1 1036 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
4 numclwwlk.c . . . . . 6 ClWWalksN
5 numclwwlk.f . . . . . 6
64, 5numclwwlk5lem 25918 . . . . 5 RegUSGrph
71, 2, 3, 6syl3anc 1292 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
87a1i 11 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
9 eleq1 2537 . . . . 5
10 breq1 4398 . . . . 5
119, 103anbi23d 1368 . . . 4
1211anbi2d 718 . . 3 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
13 oveq2 6316 . . . . . 6
1413fveq2d 5883 . . . . 5
15 id 22 . . . . 5
1614, 15oveq12d 6326 . . . 4
1716eqeq1d 2473 . . 3
188, 12, 173imtr4d 276 . 2 RegUSGrph FriendGrph
19 3simpa 1027 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
2019adantr 472 . . . . . . 7 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
2120adantl 473 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
22 simprl3 1077 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
23 simprr1 1078 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
24 prmn2uzge3 14723 . . . . . . . . . 10
2524ex 441 . . . . . . . . 9
26253ad2ant2 1052 . . . . . . . 8
2726adantl 473 . . . . . . 7 RegUSGrph FriendGrph
2827impcom 437 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
29 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
3029eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11
31 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
3231, 29eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . 11
3330, 32anbi12d 725 . . . . . . . . . 10
3433cbvrabv 3030 . . . . . . . . 9
3534a1i 11 . . . . . . . 8
3635mpt2eq3ia 6375 . . . . . . 7
37 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12 lastS lastS
3837neeq1d 2702 . . . . . . . . . . 11 lastS lastS
3930, 38anbi12d 725 . . . . . . . . . 10 lastS lastS
4039cbvrabv 3030 . . . . . . . . 9 WWalksN lastS WWalksN lastS
4140a1i 11 . . . . . . . 8 WWalksN lastS WWalksN lastS
4241mpt2eq3ia 6375 . . . . . . 7 WWalksN lastS WWalksN lastS
43 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10
4443anbi1d 719 . . . . . . . . 9
4544rabbidv 3022 . . . . . . . 8
46 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
47 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
4948neeq1d 2702 . . . . . . . . . . 11
5049anbi2d 718 . . . . . . . . . 10
5146, 50rabeqbidv 3026 . . . . . . . . 9
5231, 29neeq12d 2704 . . . . . . . . . . 11
5330, 52anbi12d 725 . . . . . . . . . 10
5453cbvrabv 3030 . . . . . . . . 9
5551, 54syl6eq 2521 . . . . . . . 8
5645, 55cbvmpt2v 6390 . . . . . . 7
574, 5, 36, 42, 56numclwwlk3 25916 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
5821, 22, 23, 28, 57syl13anc 1294 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
5958oveq1d 6323 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
60 rusgraprop 25736 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph USGrph VDeg
61 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . 14
62613ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph VDeg
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph
6463zred 11063 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph
65 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . 11
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph
67663ad2ant1 1051 . . . . . . . . 9 RegUSGrph FriendGrph
6867adantr 472 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph
69 rusisusgra 25738 . . . . . . . . . . . . . . 15 RegUSGrph USGrph
70 usgrav 25144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph
7170simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
7269, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph
7372anim1i 578 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph
7473ancomd 458 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph
75743adant2 1049 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph FriendGrph
76 prmm2nn0 14724 . . . . . . . . . . . . 13
7776anim2i 579 . . . . . . . . . . . 12
78773adant3 1050 . . . . . . . . . . 11
794, 5numclwwlkffin 25889 . . . . . . . . . . 11
8075, 78, 79syl2an 485 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph FriendGrph
81 hashcl 12576 . . . . . . . . . 10
8280, 81syl 17 . . . . . . . . 9 RegUSGrph FriendGrph
8382nn0red 10950 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph
8468, 83remulcld 9689 . . . . . . 7 RegUSGrph FriendGrph
85643ad2ant1 1051 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph
86763ad2ant2 1052 . . . . . . . 8
87 reexpcl 12327 . . . . . . . 8
8885, 86, 87syl2an 485 . . . . . . 7 RegUSGrph FriendGrph
89 prmnn 14704 . . . . . . . . . 10
9089nnrpd 11362 . . . . . . . . 9
91903ad2ant2 1052 . . . . . . . 8
9291adantl 473 . . . . . . 7 RegUSGrph FriendGrph
9384, 88, 923jca 1210 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
9493adantl 473 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
95 modaddabs 12168 . . . . . 6
9695eqcomd 2477 . . . . 5
9794, 96syl 17 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
98893ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11
9998adantl 473 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph FriendGrph
100 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . 13
10163, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph
1021013ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph FriendGrph
103102adantr 472 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph FriendGrph
10482nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph FriendGrph
10599, 103, 1043jca 1210 . . . . . . . . 9 RegUSGrph FriendGrph
106 simpr3 1038 . . . . . . . . 9 RegUSGrph FriendGrph
107 mulmoddvds 14441 . . . . . . . . 9
108105, 106, 107sylc 61 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph
109633ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph FriendGrph
110 simp2 1031 . . . . . . . . . 10
111109, 110anim12ci 577 . . . . . . . . 9 RegUSGrph FriendGrph
112 powm2modprm 14833 . . . . . . . . 9
113111, 106, 112sylc 61 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph
114108, 113oveq12d 6326 . . . . . . 7 RegUSGrph FriendGrph
115114oveq1d 6323 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
116 0p1e1 10743 . . . . . . . . . 10
117116oveq1i 6318 . . . . . . . . 9
11889nnred 10646 . . . . . . . . . 10
119 prmgt1 14722 . . . . . . . . . 10
120 1mod 12162 . . . . . . . . . 10
121118, 119, 120syl2anc 673 . . . . . . . . 9
122117, 121syl5eq 2517 . . . . . . . 8
1231223ad2ant2 1052 . . . . . . 7
124123adantl 473 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
125115, 124eqtrd 2505 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
126125adantl 473 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
12759, 97, 1263eqtrd 2509 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
128127ex 441 . 2 RegUSGrph FriendGrph
12918, 128pm2.61ine 2726 1 RegUSGrph FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  cvv 3031  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cmin 9880  cn 10631  c2 10681  c3 10682  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325   cmo 12129  cexp 12310  chash 12553   lastS clsw 12704   cdvds 14382  cprime 14701   USGrph cusg 25136   WWalksN cwwlkn 25485   ClWWalksN cclwwlkn 25556   VDeg cvdg 25700   RegUSGrph crusgra 25730   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-s2 13003  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-wlk 25315  df-wwlk 25486  df-wwlkn 25487  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559  df-vdgr 25701  df-rgra 25731  df-rusgra 25732  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  numclwwlk6  25920
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