Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem numclwwlk3 25837
 Description: Statement 12 in [Huneke] p. 2: "Thus f(n) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2)." - the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) is the sum of the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) with v(n-2) = v(n) (see numclwwlk1 25826) and with v(n-2) =/= v(n) ( see numclwwlk2 25835): f(n) = kf(n-2) + k^(n-2) - f(n-2) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c ClWWalksN
numclwwlk.f
numclwwlk.g
numclwwlk.q WWalksN lastS
numclwwlk.h
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3 RegUSGrph FriendGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem numclwwlk3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 25659 . . . 4 RegUSGrph USGrph
21ad2antrr 732 . . 3 RegUSGrph FriendGrph USGrph
3 simp1 1008 . . . 4
43adantl 468 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
5 simp2 1009 . . . 4
65adantl 468 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
7 uzuzle23 11199 . . . . 5
873ad2ant3 1031 . . . 4
98adantl 468 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
10 numclwwlk.c . . . 4 ClWWalksN
11 numclwwlk.f . . . 4
12 numclwwlk.g . . . 4
13 numclwwlk.q . . . 4 WWalksN lastS
14 numclwwlk.h . . . 4
1510, 11, 12, 13, 14numclwwlk3lem 25836 . . 3 USGrph
162, 4, 6, 9, 15syl31anc 1271 . 2 RegUSGrph FriendGrph
1710, 11, 12, 13, 14numclwwlk2 25835 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
18 simpl 459 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph
1918, 3anim12ci 571 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph
20 3simpc 1007 . . . . 5
2120adantl 468 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
2210, 11, 12numclwwlk1 25826 . . . 4 RegUSGrph
2319, 21, 22syl2anc 667 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
2417, 23oveq12d 6308 . 2 RegUSGrph FriendGrph
25 rusgraprop 25657 . . . . 5 RegUSGrph USGrph VDeg
26 nn0cn 10879 . . . . . 6
27263ad2ant2 1030 . . . . 5 USGrph VDeg
2825, 27syl 17 . . . 4 RegUSGrph
2928ad2antrr 732 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
30 usgrav 25065 . . . . . . . . 9 USGrph
3130simprd 465 . . . . . . . 8 USGrph
321, 31syl 17 . . . . . . 7 RegUSGrph
3332adantr 467 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
3433, 3anim12ci 571 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
35 uz3m2nn 11201 . . . . . . . . 9
3635nnnn0d 10925 . . . . . . . 8
37363ad2ant3 1031 . . . . . . 7
385, 37jca 535 . . . . . 6
3938adantl 468 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
4010, 11numclwwlkffin 25810 . . . . 5
4134, 39, 40syl2anc 667 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
42 hashcl 12538 . . . . 5
4342nn0cnd 10927 . . . 4
4441, 43syl 17 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
45 numclwlk3lem3 25801 . . 3
4629, 44, 9, 45syl3anc 1268 . 2 RegUSGrph FriendGrph
4716, 24, 463eqtrd 2489 1 RegUSGrph FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  crab 2741  cvv 3045  cop 3974   class class class wbr 4402   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  cfn 7569  cc 9537  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cmin 9860  c2 10659  c3 10660  cn0 10869  cuz 11159  cexp 12272  chash 12515   lastS clsw 12657   USGrph cusg 25057   WWalksN cwwlkn 25406   ClWWalksN cclwwlkn 25477   VDeg cvdg 25621   RegUSGrph crusgra 25651   FriendGrph cfrgra 25716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-word 12664  df-lsw 12665  df-concat 12666  df-s1 12667  df-substr 12668  df-s2 12944  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-usgra 25060  df-nbgra 25148  df-wlk 25236  df-wwlk 25407  df-wwlkn 25408  df-clwwlk 25479  df-clwwlkn 25480  df-vdgr 25622  df-rgra 25652  df-rusgra 25653  df-frgra 25717 This theorem is referenced by:  numclwwlk5  25840
 Copyright terms: Public domain W3C validator