MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwlk3lem3 Structured version   Unicode version

Theorem numclwlk3lem3 24938
Description: Lemma 3 for numclwwlk3 24974. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
numclwlk3lem3  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( K ^ ( N  -  2 ) )  -  Y )  +  ( K  x.  Y ) )  =  ( ( ( K  -  1 )  x.  Y )  +  ( K ^ ( N  -  2 ) ) ) )

Proof of Theorem numclwlk3lem3
StepHypRef Expression
1 uznn0sub 11116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  2 )  e. 
NN0 )
21anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( K  e.  CC  /\  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
)
3 expcl 12158 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( N  -  2
)  e.  NN0 )  ->  ( K ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( K ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
543adant2 1014 . . 3  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( K ^ ( N  - 
2 ) )  e.  CC )
6 simp2 996 . . 3  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  Y  e.  CC )
7 mulcl 9574 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC )  ->  ( K  x.  Y
)  e.  CC )
873adant3 1015 . . 3  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( K  x.  Y )  e.  CC )
95, 6, 8subadd23d 9953 . 2  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( K ^ ( N  -  2 ) )  -  Y )  +  ( K  x.  Y ) )  =  ( ( K ^
( N  -  2 ) )  +  ( ( K  x.  Y
)  -  Y ) ) )
1023adant2 1014 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( K  e.  CC  /\  ( N  -  2 )  e. 
NN0 ) )
1110, 3syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( K ^ ( N  - 
2 ) )  e.  CC )
128, 6subcld 9931 . . 3  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( K  x.  Y )  -  Y )  e.  CC )
1311, 12addcomd 9780 . 2  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( K ^ ( N  - 
2 ) )  +  ( ( K  x.  Y )  -  Y
) )  =  ( ( ( K  x.  Y )  -  Y
)  +  ( K ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
14 simp1 995 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  K  e.  CC )
1514, 6mulsubfacd 10017 . . 3  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( K  x.  Y )  -  Y )  =  ( ( K  -  1 )  x.  Y ) )
1615oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( K  x.  Y
)  -  Y )  +  ( K ^
( N  -  2 ) ) )  =  ( ( ( K  -  1 )  x.  Y )  +  ( K ^ ( N  -  2 ) ) ) )
179, 13, 163eqtrd 2486 1  |-  ( ( K  e.  CC  /\  Y  e.  CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( K ^ ( N  -  2 ) )  -  Y )  +  ( K  x.  Y ) )  =  ( ( ( K  -  1 )  x.  Y )  +  ( K ^ ( N  -  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    - cmin 9805   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZ>=cuz 11085   ^cexp 12140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-seq 12082  df-exp 12141
This theorem is referenced by:  numclwwlk3  24974
  Copyright terms: Public domain W3C validator