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Theorem numclwlk2lem2f1o 24937
Description: R is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
numclwwlk.f  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
numclwwlk.g  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
numclwwlk.q  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
numclwwlk.h  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
numclwwlk.r  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f1o  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N ) )
Distinct variable groups:    n, E    n, N    n, V    w, C, x    x, E    w, N, x    x, V    C, n, v, w    v, N   
n, X, v, w   
v, V    w, E    w, V    w, F    w, Q    w, G    x, X    v, E    x, H    x, Q    v, H, x
Allowed substitution hints:    Q( v, n)    R( x, w, v, n)    F( x, v, n)    G( x, v, n)    H( w, n)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f1o
Dummy variables  y  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ) )
2 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
3 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
42, 3eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( R `  y
)  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  <->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
51, 4imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  <->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
65imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
y  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  -> 
( R `  y
)  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) )  <->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) ) )
7 numclwwlk.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
8 numclwwlk.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
9 numclwwlk.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
10 numclwwlk.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
11 numclwwlk.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
12 numclwwlk.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
137, 8, 9, 10, 11, 12numclwlk2lem2fv 24936 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
146, 13chvarv 1983 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
15143adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  -> 
( R `  x
)  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) )
1615imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
177, 8, 9, 10, 11, 12numclwlk2lem2f 24935 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
1817ffvelrnda 6032 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( R `  x )  e.  ( X Q N ) )
1916, 18eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N ) )
2019ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N ) )
217, 8, 9, 10, 11numclwwlk2lem1 24934 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  ->  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ) )
2221imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  u  e.  ( X Q N ) )  ->  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )
23 nnnn0 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
247, 8, 9, 10numclwwlkovq 24931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X Q N )  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } )
2523, 24sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X Q N )  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } )
2625eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( u  e.  ( X Q N )  <-> 
u  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } ) )
27263adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  <->  u  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w )  =/=  X
) } ) )
28 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  u  ->  (
w `  0 )  =  ( u ` 
0 ) )
2928eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  u  ->  (
( w `  0
)  =  X  <->  ( u `  0 )  =  X ) )
30 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  u  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  u ) )
3130neeq1d 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  u  ->  (
( lastS  `  w )  =/= 
X  <->  ( lastS  `  u )  =/=  X ) )
3229, 31anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  u  ->  (
( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X )  <-> 
( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) ) )
3332elrab 3266 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) }  <->  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) ) )
3427, 33syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  <->  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) ) ) )
35 wwlknimpb 24536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  +  1 ) ) )
36 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  u  e. Word  V )
37 2nn0 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  NN0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
3923, 38nn0addcld 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
407, 8, 9, 10, 11numclwwlkovh 24933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( X H ( N  +  2 ) )  =  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } )
4139, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X H ( N  +  2 ) )  =  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } )
4241eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <-> 
x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } ) )
43 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
4443eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  0
)  =  X  <->  ( x `  0 )  =  X ) )
45 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
4645, 43neeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w `
 0 )  <->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
4744, 46anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
)  <->  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
4847elrab 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) }  <-> 
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  {
w  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  |  ( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
) }  <->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) ) )
507numclwwlkfvc 24909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
5139, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  ( C `  ( N  +  2 ) )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) ) )
5251eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) ) ) )
5453anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) ) )
5542, 49, 543bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <-> 
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) ) )
56553adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) ) ) )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <->  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) ) ) )
58 clwwlknprop 24604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  2 ) ) ) )
59 lencl 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e. Word  V  ->  ( # `
 u )  e. 
NN0 )
60 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  x  e. Word  V )
61 df-2 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
6362oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
64 nncn 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
65 1cnd 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6664, 65, 65addassd 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
6763, 66eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  u
)  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  2 )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
6968eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( # `  u
)  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  <->  ( # `  x
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7069biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `  x
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( ( (
# `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 x )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
7271impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  ( # `
 x )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
73 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  u )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  u )  +  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
7473ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  (
( # `  u )  +  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
7572, 74eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  ( # `
 x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) )
7660, 75jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) )
7776exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  u
)  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) ) )
7859, 77sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) ) )
7978com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
80793ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
8180impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( (
( # `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) )
8281com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `
 u )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
x  e. Word  V  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) ) )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
2 ) )  -> 
( x  e. Word  V  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `
 u )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) ) )
8584impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
86853adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
8758, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( (
x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
9057, 89sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
9190ralrimiv 2879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) )
9236, 91jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
9392ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) ) )
9435, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
9695imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( u `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/= 
X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
97 reuccats1 12685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) ) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( u `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/= 
X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  (
u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) )
100 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )
101100eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( # `  u ) )
10235, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  u
) )
103102ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  u
) )
104103opeq2d 4226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >.  =  <. 0 ,  ( # `  u
) >. )
105104oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  (
x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) )
106105eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  (
u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  <->  u  =  (
x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) ) )
107106reubidva 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  (
u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  ( E! x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  <->  E! x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( # `  u
) >. ) ) )
10899, 107mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  (
u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
109108exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
110109com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( u `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/= 
X ) )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
11134, 110sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
112111imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  u  e.  ( X Q N ) )  ->  ( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) )
11322, 112mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  u  e.  ( X Q N ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
114113ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  A. u  e.  ( X Q N ) E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
11512f1ompt 6054 . 2  |-  ( R : ( X H ( N  +  2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N )  <->  ( A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N )  /\  A. u  e.  ( X Q N ) E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
11620, 114, 115sylanbrc 664 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E!wreu 2819   {crab 2821   _Vcvv 3118   <.cop 4039   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZ>=cuz 11094   #chash 12385  Word cword 12514   lastS clsw 12515   concat cconcat 12516   <"cs1 12517   substr csubstr 12518   WWalksN cwwlkn 24510   ClWWalksN cclwwlkn 24581   FriendGrph cfrgra 24820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12522  df-lsw 12523  df-concat 12524  df-s1 12525  df-substr 12526  df-wwlk 24511  df-wwlkn 24512  df-clwwlk 24583  df-clwwlkn 24584  df-frgra 24821
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem3  24938
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