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Theorem numclwlk2lem2f1o 30623
Description: R is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
numclwwlk.f  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
numclwwlk.g  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
numclwwlk.q  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
numclwwlk.h  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
numclwwlk.r  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f1o  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N ) )
Distinct variable groups:    n, E    n, N    n, V    w, C, x    x, E    w, N, x    x, V    C, n, v, w    v, N   
n, X, v, w   
v, V    w, E    w, V    w, F    w, Q    w, G    x, X    v, E    x, H    x, Q    v, H, x
Allowed substitution hints:    Q( v, n)    R( x, w, v, n)    F( x, v, n)    G( x, v, n)    H( w, n)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f1o
Dummy variables  y  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ) )
2 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
3 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
42, 3eqeq12d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( R `  y
)  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  <->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
51, 4imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  <->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
65imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
y  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  -> 
( R `  y
)  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) )  <->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) ) )
7 numclwwlk.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
8 numclwwlk.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
9 numclwwlk.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
10 numclwwlk.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
11 numclwwlk.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
12 numclwwlk.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
137, 8, 9, 10, 11, 12numclwlk2lem2fv 30622 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
146, 13chvarv 1963 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
15143adant1 1001 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  -> 
( R `  x
)  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) )
1615imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( R `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
177, 8, 9, 10, 11, 12numclwlk2lem2f 30621 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
1817ffvelrnda 5840 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( R `  x )  e.  ( X Q N ) )
1916, 18eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N ) )
2019ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N ) )
217, 8, 9, 10, 11numclwwlk2lem1 30620 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  ->  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ) )
2221imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  u  e.  ( X Q N ) )  ->  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )
23 nnnn0 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
247, 8, 9, 10numclwwlkovq 30617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X Q N )  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } )
2523, 24sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X Q N )  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } )
2625eleq2d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( u  e.  ( X Q N )  <-> 
u  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } ) )
27263adant1 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  <->  u  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w )  =/=  X
) } ) )
28 fveq1 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  u  ->  (
w `  0 )  =  ( u ` 
0 ) )
2928eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  u  ->  (
( w `  0
)  =  X  <->  ( u `  0 )  =  X ) )
30 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  u  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  u ) )
3130neeq1d 2619 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  u  ->  (
( lastS  `  w )  =/= 
X  <->  ( lastS  `  u )  =/=  X ) )
3229, 31anbi12d 705 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  u  ->  (
( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X )  <-> 
( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) ) )
3332elrab 3114 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) }  <->  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) ) )
3427, 33syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  <->  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) ) ) )
35 wwlknimpb 30263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  +  1 ) ) )
36 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  u  e. Word  V )
37 2nn0 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  NN0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
3923, 38nn0addcld 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
407, 8, 9, 10, 11numclwwlkovh 30619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( X H ( N  +  2 ) )  =  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } )
4139, 40sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X H ( N  +  2 ) )  =  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } )
4241eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <-> 
x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } ) )
43 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
4443eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  0
)  =  X  <->  ( x `  0 )  =  X ) )
45 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
4645, 43neeq12d 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w `
 0 )  <->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
4744, 46anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
)  <->  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
4847elrab 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) }  <-> 
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  {
w  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  |  ( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
) }  <->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) ) )
507numclwwlkfvc 30595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
5139, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  ( C `  ( N  +  2 ) )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) ) )
5251eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
5352adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) ) ) )
5453anbi1d 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) ) )
5542, 49, 543bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <-> 
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) ) )
56553adant1 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) ) ) )
5756adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <->  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) ) ) )
58 clwwlknprop 30360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  2 ) ) ) )
59 lencl 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e. Word  V  ->  ( # `
 u )  e. 
NN0 )
60 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  x  e. Word  V )
61 df-2 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
6362oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
64 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
65 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  1  e.  CC
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6764, 66, 66addassd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
6863, 67eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
6968adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  u
)  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  2 )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
7069eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( # `  u
)  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  <->  ( # `  x
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7170biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `  x
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7271adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( ( (
# `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 x )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
7372impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  ( # `
 x )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
74 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  u )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  u )  +  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
7574ad3antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  (
( # `  u )  +  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
7673, 75eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  ( # `
 x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) )
7760, 76jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( # `  u )  e.  NN0  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  N  e.  NN )  /\  ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) )
7877exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  u
)  e.  NN0  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) ) )
7959, 78sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) ) )
8079com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
81803ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
8281impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( (
( # `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  (
x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) )
8382com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `
 u )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
8483ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
x  e. Word  V  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) ) )
8584adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
2 ) )  -> 
( x  e. Word  V  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `
 u )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) ) )
8685impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
87863adant1 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
8858, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( (
( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
8988adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  ->  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
9089com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( (
x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
9157, 90sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) ) )
9291ralrimiv 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) )
9336, 92jca 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
9493ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) ) )
9535, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
9695adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) ) ) )
9796imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( u `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/= 
X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) ) )
98 reuccats1 30186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( ( # `  u )  +  1 ) ) )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( u `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/= 
X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  (
u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) )
101 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )
102101eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e. Word  V  /\  ( # `  u )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( # `  u ) )
10335, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  u
) )
104103ad4antr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  u
) )
105104opeq2d 4063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >.  =  <. 0 ,  ( # `  u
) >. )
106105oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  (
x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) )
107106eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  /\  x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  (
u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  <->  u  =  (
x substr  <. 0 ,  (
# `  u ) >. ) ) )
108107reubidva 2902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  (
u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  ( E! x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  <->  E! x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( # `  u
) >. ) ) )
109100, 108mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( u ` 
0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u
)  =/=  X ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  E! v  e.  V  (
u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
110109exp31 601 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
u `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/=  X
) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
111110com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( u  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( u `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  u )  =/= 
X ) )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
11234, 111sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
u  e.  ( X Q N )  -> 
( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
113112imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  u  e.  ( X Q N ) )  ->  ( E! v  e.  V  ( u concat  <" v "> )  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) )
11422, 113mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  u  e.  ( X Q N ) )  ->  E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
115114ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  A. u  e.  ( X Q N ) E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )
11612f1ompt 5862 . 2  |-  ( R : ( X H ( N  +  2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N )  <->  ( A. x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N )  /\  A. u  e.  ( X Q N ) E! x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) u  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
11720, 115, 116sylanbrc 659 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E!wreu 2715   {crab 2717   _Vcvv 2970   <.cop 3880   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    - cmin 9591   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   #chash 12099  Word cword 12217   lastS clsw 12218   concat cconcat 12219   <"cs1 12220   substr csubstr 12221   WWalksN cwwlkn 30237   ClWWalksN cclwwlkn 30339   FriendGrph cfrgra 30505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-lsw 12226  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-wwlk 30238  df-wwlkn 30239  df-clwwlk 30341  df-clwwlkn 30342  df-frgra 30506
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem3  30624
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