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Theorem numclwlk2lem2f 30722
Description: R is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
numclwwlk.f  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
numclwwlk.g  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
numclwwlk.q  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
numclwwlk.h  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
numclwwlk.r  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
Distinct variable groups:    n, E    n, N    n, V    w, C, x    x, E    w, N, x    x, V    C, n, v, w    v, N   
n, X, v, w   
v, V    w, E    w, V    w, F    w, Q    w, G    x, X    v, E    x, H    x, Q
Allowed substitution hints:    Q( v, n)    R( x, w, v, n)    F( x, v, n)    G( x, v, n)    H( w, v, n)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10607 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 2nn0 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
41, 3nn0addcld 10661 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
54anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
)
653adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )
)
7 numclwwlk.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
8 numclwwlk.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
9 numclwwlk.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
10 numclwwlk.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
11 numclwwlk.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
127, 8, 9, 10, 11numclwwlkovh 30720 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( X H ( N  +  2 ) )  =  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } )
1312eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <-> 
x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } ) )
146, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  { w  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  |  ( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
) } ) )
15 fveq1 5711 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
1615eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  0
)  =  X  <->  ( x `  0 )  =  X ) )
17 fveq1 5711 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
1817, 15neeq12d 2643 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w `
 0 )  <->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
1916, 18anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
)  <->  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
2019elrab 3138 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) }  <-> 
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
2114, 20syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) ) )
2243ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
237numclwwlkfvc 30696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
2423eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2
) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
2625anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) )  <->  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) ) ) )
27 peano2nn 10355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
28 nnz 10689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
29 2z 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3128, 30zaddcld 10772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ZZ )
32 uzid 10896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  2 )  e.  ZZ  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
34 nncn 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
35 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3734, 36, 36addassd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
38 1p1e2 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
4039oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  + 
2 ) )
4137, 40eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  + 
2 ) )
4241fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
4333, 42eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
4427, 43jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
45443ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
47 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
48 wwlksubclwwlk 30492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
4946, 47, 48sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
50 pncan1 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
5150eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
5234, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
5352fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
5453eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
55543ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5749, 56mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
58 clwwlknprop 30461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  2 ) ) ) )
59 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
x `  0 )  =  X )
60 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  x  e. Word  V )
61 peano2nn0 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
621, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
63 nnre 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
6463lep1d 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
65 elfz2nn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0  /\  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
661, 62, 64, 65syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
67 2cnd 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
68 addsubass 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  +  ( 2  -  1 ) ) )
69 2m1e1 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7069oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  +  1 )
7168, 70syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
7234, 67, 36, 71syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
7372oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  2 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7466, 73eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... (
( N  +  2 )  -  1 ) ) )
75 elfzp1b 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( 0 ... (
( N  +  2 )  -  1 ) )  <->  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
7628, 31, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( ( N  +  2 )  - 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
7774, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
79 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
1 ... ( # `  x
) )  =  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
8079eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  x
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
8180ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  x
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
8278, 81mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 x ) ) )
83 swrd0fv0 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  x
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( x `  0
) )
8460, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( x `  0
) ) )
8685adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8786impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( x `
 0 ) )
8887ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
89 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( x `  0 )  =  X )
9088, 89eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X )
91 swrd0fvlsw 12360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  x
) ) )  -> 
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( x `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
9260, 82, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( x `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9334, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9434, 67pncand 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  2 )  -  2 )  =  N )
9593, 94eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )
9695fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) ) )
9892, 97eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) )
9998ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ) )
101100impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
102101neeq1d 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 )  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
103102biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 )  ->  (
( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) ) )
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) ) )
105104impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
)
107 neeq2 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X  =  ( x ` 
0 )  ->  (
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
108107eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x `  0 )  =  X  ->  (
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
110106, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
)
11190, 110jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) )
11259, 111mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
113112exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
)  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
114113com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) )  ->  (
( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
115114ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
x  e. Word  V  ->  ( ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
)  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) ) )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
2 ) )  -> 
( x  e. Word  V  ->  ( ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) )  ->  (
( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) ) )
117116impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
1181173adant1 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
11958, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
120119imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
121120com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
1221213adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
123122imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
12457, 123jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
125124ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
12626, 125sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
12721, 126sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
128127imp 429 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
1291anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )
1301293adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )
131130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )
1327, 8, 9, 10numclwwlkovq 30718 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X Q N )  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } )
133131, 132syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( X Q N )  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w )  =/=  X
) } )
134133eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( X Q N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } ) )
135 fveq1 5711 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( w `  0
)  =  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 ) )
136135eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( w ` 
0 )  =  X  <-> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X ) )
137 fveq2 5712 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) )
138137neeq1d 2641 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( lastS  `  w
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
139136, 138anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X )  <-> 
( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
140139elrab 3138 . . . 4  |-  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) }  <->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
141134, 140syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( X Q N )  <->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
142128, 141mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N ) )
143 numclwwlk.r . 2  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
144142, 143fmptd 5888 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2740   _Vcvv 2993   <.cop 3904   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    <_ cle 9440    - cmin 9616   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458   #chash 12124  Word cword 12242   lastS clsw 12243   substr csubstr 12246   WWalksN cwwlkn 30338   ClWWalksN cclwwlkn 30440   FriendGrph cfrgra 30606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125  df-word 12250  df-lsw 12251  df-substr 12254  df-wwlk 30339  df-wwlkn 30340  df-clwwlk 30442  df-clwwlkn 30443
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  30724
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