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Theorem numclwlk2lem2f 25880
Description: R is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
numclwwlk.f  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
numclwwlk.g  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
numclwwlk.q  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
numclwwlk.h  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
numclwwlk.r  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
Distinct variable groups:    n, E    n, N    n, V    w, C, x    x, E    w, N, x    x, V    C, n, v, w    v, N   
n, X, v, w   
v, V    w, E    w, V    w, F    w, Q    w, G    x, X    v, E    x, H    x, Q
Allowed substitution hints:    Q( v, n)    R( x, w, v, n)    F( x, v, n)    G( x, v, n)    H( w, v, n)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10905 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 2nn0 10915 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
41, 3nn0addcld 10958 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
54anim2i 577 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
)
653adant1 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )
)
7 numclwwlk.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
8 numclwwlk.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
9 numclwwlk.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
10 numclwwlk.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
11 numclwwlk.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
127, 8, 9, 10, 11numclwwlkovh 25878 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( X H ( N  +  2 ) )  =  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } )
1312eleq2d 2525 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <-> 
x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } ) )
146, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  { w  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  |  ( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
) } ) )
15 fveq1 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
1615eqeq1d 2464 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  0
)  =  X  <->  ( x `  0 )  =  X ) )
17 fveq1 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
1817, 15neeq12d 2697 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w `
 0 )  <->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
1916, 18anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
)  <->  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
2019elrab 3208 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) }  <-> 
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
2114, 20syl6bb 269 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) ) )
2243ad2ant3 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
237numclwwlkfvc 25854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
2423eleq2d 2525 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2
) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
2522, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
2625anbi1d 716 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) )  <->  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) ) ) )
27 peano2nn 10649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
28 nnz 10988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
29 2z 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3128, 30zaddcld 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ZZ )
32 uzid 11202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  2 )  e.  ZZ  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
34 nncn 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
35 1cnd 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3634, 35, 35addassd 9691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
37 1p1e2 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
3938oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  + 
2 ) )
4036, 39eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  + 
2 ) )
4140fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
4233, 41eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
4327, 42jca 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
44433ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
4544adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
46 simprl 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
47 wwlksubclwwlk 25581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
4845, 46, 47sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
49 pncan1 10071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
5049eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
5134, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
5251fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
5352eleq2d 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
54533ad2ant3 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5554adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5648, 55mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
57 clwwlknprop 25549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  2 ) ) ) )
58 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
x `  0 )  =  X )
59 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  x  e. Word  V )
60 peano2nn0 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
62 nnre 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
6362lep1d 10566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
64 elfz2nn0 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0  /\  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
651, 61, 63, 64syl3anbrc 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
66 2cnd 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
67 addsubass 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  +  ( 2  -  1 ) ) )
68 2m1e1 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( 2  -  1 )  =  1
6968oveq2i 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  +  1 )
7067, 69syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
7134, 66, 35, 70syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
7271oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  2 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7365, 72eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... (
( N  +  2 )  -  1 ) ) )
74 elfzp1b 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( 0 ... (
( N  +  2 )  -  1 ) )  <->  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
7528, 31, 74syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( ( N  +  2 )  - 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
7673, 75mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
7776adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
78 oveq2 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
1 ... ( # `  x
) )  =  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
7978eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  x
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
8079ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  x
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
8177, 80mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 x ) ) )
82 swrd0fv0 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  x
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( x `  0
) )
8359, 81, 82syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
8483ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( x `  0
) ) )
8584adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8685impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( x `
 0 ) )
8786ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
88 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( x `  0 )  =  X )
8987, 88eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X )
90 swrd0fvlsw 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  x
) ) )  -> 
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( x `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
9159, 81, 90syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( x `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9234, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9334, 66pncand 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  2 )  -  2 )  =  N )
9492, 93eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )
9594fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
9695adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) ) )
9791, 96eqtr2d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) )
9897ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
9998adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ) )
10099impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
101100neeq1d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 )  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
102101biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 )  ->  (
( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) ) )
103102adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) ) )
104103impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) )
105104adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
)
106 neeq2 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X  =  ( x ` 
0 )  ->  (
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
107106eqcoms 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x `  0 )  =  X  ->  (
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
108107adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
109105, 108mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
)
11089, 109jca 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) )
11158, 110mpancom 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
112111exp31 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
)  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
113112com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) )  ->  (
( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
114113ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
x  e. Word  V  ->  ( ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
)  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) ) )
115114adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
2 ) )  -> 
( x  e. Word  V  ->  ( ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) )  ->  (
( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) ) )
116115impcom 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
1171163adant1 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
11857, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
119118imp 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
120119com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
1211203adant1 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
122121imp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
12356, 122jca 539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
124123ex 440 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
12526, 124sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
12621, 125sylbid 223 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
127126imp 435 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
1281anim2i 577 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )
1291283adant1 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )
130129adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )
1317, 8, 9, 10numclwwlkovq 25876 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X Q N )  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } )
132130, 131syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( X Q N )  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w )  =/=  X
) } )
133132eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( X Q N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } ) )
134 fveq1 5887 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( w `  0
)  =  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 ) )
135134eqeq1d 2464 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( w ` 
0 )  =  X  <-> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X ) )
136 fveq2 5888 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) )
137136neeq1d 2695 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( lastS  `  w
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
138135, 137anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X )  <-> 
( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
139138elrab 3208 . . . 4  |-  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) }  <->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
140133, 139syl6bb 269 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( X Q N )  <->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
141127, 140mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N ) )
142 numclwwlk.r . 2  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
143141, 142fmptd 6069 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {crab 2753   _Vcvv 3057   <.cop 3986   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    |-> cmpt2 6317   CCcc 9563   0cc0 9565   1c1 9566    + caddc 9568    <_ cle 9702    - cmin 9886   NNcn 10637   2c2 10687   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   ...cfz 11813   #chash 12547  Word cword 12689   lastS clsw 12690   substr csubstr 12693   WWalksN cwwlkn 25455   ClWWalksN cclwwlkn 25526   FriendGrph cfrgra 25765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-hash 12548  df-word 12697  df-lsw 12698  df-substr 12701  df-wwlk 25456  df-wwlkn 25457  df-clwwlk 25528  df-clwwlkn 25529
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  25882
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