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Theorem numclwlk2lem2f 24927
Description: R is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
numclwwlk.f  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
numclwwlk.g  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
numclwwlk.q  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
numclwwlk.h  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
numclwwlk.r  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
Distinct variable groups:    n, E    n, N    n, V    w, C, x    x, E    w, N, x    x, V    C, n, v, w    v, N   
n, X, v, w   
v, V    w, E    w, V    w, F    w, Q    w, G    x, X    v, E    x, H    x, Q
Allowed substitution hints:    Q( v, n)    R( x, w, v, n)    F( x, v, n)    G( x, v, n)    H( w, v, n)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 2nn0 10824 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
41, 3nn0addcld 10868 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
54anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
)
653adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )
)
7 numclwwlk.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
8 numclwwlk.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( w ` 
0 )  =  v } )
9 numclwwlk.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( v  e.  V ,  n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  |->  { w  e.  ( C `
 n )  |  ( ( w ` 
0 )  =  v  /\  ( w `  ( n  -  2
) )  =  ( w `  0 ) ) } )
10 numclwwlk.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  n )  |  ( ( w `  0
)  =  v  /\  ( lastS  `  w )  =/=  v ) } )
11 numclwwlk.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( C `  n )  |  ( ( w `
 0 )  =  v  /\  ( w `
 ( n  - 
2 ) )  =/=  ( w `  0
) ) } )
127, 8, 9, 10, 11numclwwlkovh 24925 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( X H ( N  +  2 ) )  =  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } )
1312eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( N  +  2
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) )  <-> 
x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) } ) )
146, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  { w  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  |  ( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
) } ) )
15 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
1615eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  0
)  =  X  <->  ( x `  0 )  =  X ) )
17 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
1817, 15neeq12d 2746 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w `
 0 )  <->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
1916, 18anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w ` 
0 )  =  X  /\  ( w `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
w `  0 )
)  <->  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
2019elrab 3266 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { w  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  (
w `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( w ` 
0 ) ) }  <-> 
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) ) )
2114, 20syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  <->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) ) )
2243ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  2 )  e.  NN0 )
237numclwwlkfvc 24901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
2423eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  ->  ( x  e.  ( C `  ( N  +  2
) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( C `
 ( N  + 
2 ) )  <->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) ) )
2625anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) )  <->  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) ) ) )
27 peano2nn 10560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
28 nnz 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
29 2z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3128, 30zaddcld 10982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ZZ )
32 uzid 11108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  2 )  e.  ZZ  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
34 nncn 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
35 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3734, 36, 36addassd 9630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
38 1p1e2 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
4039oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  + 
2 ) )
4137, 40eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  + 
2 ) )
4241fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  2 ) ) )
4333, 42eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
4427, 43jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
45443ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
47 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) ) )
48 wwlksubclwwlk 24627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( N  +  2
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
4946, 47, 48sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
50 pncan1 9995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
5150eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
5234, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
5352fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
5453eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
55543ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5749, 56mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
58 clwwlknprop 24595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  2 ) ) ) )
59 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
x `  0 )  =  X )
60 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  x  e. Word  V )
61 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
621, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
63 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
6463lep1d 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
65 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0  /\  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
661, 62, 64, 65syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
67 2cnd 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
68 addsubass 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  +  ( 2  -  1 ) ) )
69 2m1e1 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7069oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  +  1 )
7168, 70syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
7234, 67, 36, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  2 )  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
7372oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  2 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7466, 73eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... (
( N  +  2 )  -  1 ) ) )
75 elfzp1b 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( 0 ... (
( N  +  2 )  -  1 ) )  <->  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
7628, 31, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( ( N  +  2 )  - 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
7774, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
79 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
1 ... ( # `  x
) )  =  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) )
8079eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  x
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
8180ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  x
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  2 ) ) ) )
8278, 81mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 x ) ) )
83 swrd0fv0 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  x
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( x `  0
) )
8460, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( x `  0
) ) )
8685adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8786impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( x `
 0 ) )
8887ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
89 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( x `  0 )  =  X )
9088, 89eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X )
91 swrd0fvlsw 12650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  x
) ) )  -> 
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( x `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
9260, 82, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( x `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9334, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9434, 67pncand 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  2 )  -  2 )  =  N )
9593, 94eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )
9695fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) ) )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) ) )
9892, 97eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) )
9998ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ) )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  ->  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ) )
101100impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) )
102101neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 )  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
103102biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 )  ->  (
( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) ) )
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) ) )
105104impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  ( x `
 0 ) )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
)
107 neeq2 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X  =  ( x ` 
0 )  ->  (
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
108107eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x `  0 )  =  X  ->  (
( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  (
x `  0 )
) )
110106, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
)
11190, 110jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x `  0
)  =  X  /\  ( ( ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  /\  x  e. Word  V )  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )
)  /\  ( (
x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) ) )  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) )
11259, 111mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( # `  x )  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V
)  /\  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
113112exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
)  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
114113com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  2 )  /\  x  e. Word  V )  ->  ( ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) )  ->  (
( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
115114ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
2 )  ->  (
x  e. Word  V  ->  ( ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
)  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) ) )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
2 ) )  -> 
( x  e. Word  V  ->  ( ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) )  ->  (
( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) ) )
117116impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
1181173adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  x  e. Word  V  /\  ( ( N  + 
2 )  e.  NN0  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  2 ) ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
11958, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  ->  ( (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
120119imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `  0 )  =  X  /\  (
x `  ( ( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x ` 
0 ) ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
121120com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 ( N  + 
2 ) )  /\  ( ( x ` 
0 )  =  X  /\  ( x `  ( ( N  + 
2 )  -  2 ) )  =/=  (
x `  0 )
) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
1221213adant1 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
123122imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
12457, 123jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) ) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) )
125124ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  ( N  +  2 ) )  /\  (
( x `  0
)  =  X  /\  ( x `  (
( N  +  2 )  -  2 ) )  =/=  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
12626, 125sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  e.  ( C `  ( N  +  2 ) )  /\  ( ( x `
 0 )  =  X  /\  ( x `
 ( ( N  +  2 )  - 
2 ) )  =/=  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
12721, 126sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) ) )
128127imp 429 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
1291anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )
1301293adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )
131130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( X  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )
1327, 8, 9, 10numclwwlkovq 24923 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X Q N )  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } )
133131, 132syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( X Q N )  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( ( w `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w )  =/=  X
) } )
134133eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( X Q N )  <->  ( x substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) } ) )
135 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( w `  0
)  =  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 ) )
136135eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( w ` 
0 )  =  X  <-> 
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X ) )
137 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) )
138137neeq1d 2744 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( lastS  `  w
)  =/=  X  <->  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) )
139136, 138anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X )  <-> 
( ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
140139elrab 3266 . . . 4  |-  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( ( w `
 0 )  =  X  /\  ( lastS  `  w
)  =/=  X ) }  <->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( (
( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  X  /\  ( lastS  `  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =/=  X ) ) )
141134, 140syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( X Q N )  <->  ( (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  /\  (
( ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  X  /\  ( lastS  `  (
x substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =/=  X
) ) ) )
142128, 141mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( X H ( N  + 
2 ) ) )  ->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( X Q N ) )
143 numclwwlk.r . 2  |-  R  =  ( x  e.  ( X H ( N  +  2 ) ) 
|->  ( x substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)
144142, 143fmptd 6056 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  X  e.  V  /\  N  e.  NN )  ->  R : ( X H ( N  +  2 ) ) --> ( X Q N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2821   _Vcvv 3118   <.cop 4039   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515   lastS clsw 12516   substr csubstr 12519   WWalksN cwwlkn 24501   ClWWalksN cclwwlkn 24572   FriendGrph cfrgra 24811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-lsw 12524  df-substr 12527  df-wwlk 24502  df-wwlkn 24503  df-clwwlk 24574  df-clwwlkn 24575
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  24929
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