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Theorem numclwlk1lem2fo 25512
 Description: T is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c ClWWalksN
numclwwlk.f
numclwwlk.g
numclwwlk.t substr
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2fo USGrph Neighbors
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem numclwlk1lem2fo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk.c . . 3 ClWWalksN
2 numclwwlk.f . . 3
3 numclwwlk.g . . 3
4 numclwwlk.t . . 3 substr
51, 2, 3, 4numclwlk1lem2f 25509 . 2 USGrph Neighbors
6 elxp 4840 . . . . 5 Neighbors Neighbors
71, 2, 3numclwlk1lem2foa 25508 . . . . . . . . . . 11 USGrph Neighbors ++ ++
87com12 29 . . . . . . . . . 10 Neighbors USGrph ++ ++
98adantl 464 . . . . . . . . 9 Neighbors USGrph ++ ++
109imp 427 . . . . . . . 8 Neighbors USGrph ++ ++
11 simpl 455 . . . . . . . . 9 ++ ++ Neighbors USGrph ++ ++
12 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11 ++ ++ ++ ++
1312eqeq2d 2416 . . . . . . . . . 10 ++ ++ ++ ++
14 simprr 758 . . . . . . . . . . . 12 ++ ++ Neighbors USGrph USGrph
151, 2, 3, 4numclwlk1lem2fv 25510 . . . . . . . . . . . 12 USGrph ++ ++ ++ ++ ++ ++ substr ++ ++
1614, 11, 15sylc 59 . . . . . . . . . . 11 ++ ++ Neighbors USGrph ++ ++ ++ ++ substr ++ ++
1716eqeq2d 2416 . . . . . . . . . 10 ++ ++ Neighbors USGrph ++ ++ ++ ++ substr ++ ++
1813, 17sylan9bbr 699 . . . . . . . . 9 ++ ++ Neighbors USGrph ++ ++ ++ ++ substr ++ ++
19 simprll 764 . . . . . . . . . 10 ++ ++ Neighbors USGrph
20 nbgraisvtx 24848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph Neighbors
21203ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph Neighbors
22 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 USGrph USGrph
23 uzuzle23 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
24 uznn0sub 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26253ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 USGrph
27 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 USGrph
281, 2numclwwlkovfel2 25500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 USGrph Word ..^ lastS
2922, 26, 27, 28syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 USGrph Word ..^ lastS
30 df-3an 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^ lastS Word ..^ lastS
3129, 30syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph Word ..^ lastS
32 simplll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word Word
33 s1cl 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word
3534adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word Word
3635adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word Word
37 s1cl 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word
3837adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word Word
39 ccatass 12659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word Word Word ++ ++ ++ ++
4039oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word Word Word ++ ++ substr ++ ++ substr
4132, 36, 38, 40syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word ++ ++ substr ++ ++ substr
42 ccatcl 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word Word ++ Word
4335, 37, 42syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word ++ Word
44 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word
4544eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word
4645adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word
4746adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word
48 swrdccatid 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word ++ Word ++ ++ substr
4932, 43, 47, 48syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word ++ ++ substr
5041, 49eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word ++ ++ substr
51 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ++ ++
52 lsw 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ++ ++ lastS ++ ++ ++ ++ ++ ++
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 lastS ++ ++ ++ ++ ++ ++
54 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word Word
55 ccatcl 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word Word ++ Word
5654, 34, 55syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word ++ Word
57 lswccats1 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ++ Word lastS ++ ++
5856, 57sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word lastS ++ ++
59 ccatlen 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ++ Word Word ++ ++ ++
6056, 37, 59syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word ++ ++ ++
6154, 34anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Word Word Word
6261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Word Word Word
63 ccatlen 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Word Word ++
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word ++
65 s1len 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word
6764, 66oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word ++
68 s1len 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7044, 69oveqan12d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Word
7170oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Word
72 eluzelcn 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
74 2cnd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7573, 74subcld 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
76 1cnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7775, 76, 76addassd 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
78 1p1e2 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8079oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8177, 80eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8272, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
83 2cnd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8472, 83npcand 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8582, 84eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8685adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8786adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Word
8871, 87eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word
8988adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word
9060, 67, 893eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word ++ ++
9190oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word ++ ++
9291fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word ++ ++ ++ ++ ++ ++
9353, 58, 923eqtr3a 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word ++ ++
9450, 93opeq12d 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word ++ ++ substr ++ ++
9594exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word ++ ++ substr ++ ++
96953ad2antl1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word ..^ lastS ++ ++ substr ++ ++
9796adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^ lastS ++ ++ substr ++ ++
9897com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^ lastS ++ ++ substr ++ ++
99983adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph Word ..^ lastS ++ ++ substr ++ ++
10031, 99sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph ++ ++ substr ++ ++
101100com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph ++ ++ substr ++ ++
10221, 101syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph Neighbors ++ ++ substr ++ ++
103102com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14 Neighbors USGrph ++ ++ substr ++ ++
104103imp 427 . . . . . . . . . . . . 13 Neighbors USGrph ++ ++ substr ++ ++
105104adantl 464 . . . . . . . . . . . 12 Neighbors USGrph ++ ++ substr ++ ++
106105imp 427 . . . . . . . . . . 11 Neighbors USGrph ++ ++ substr ++ ++
107106adantl 464 . . . . . . . . . 10 ++ ++ Neighbors USGrph ++ ++ substr ++ ++
10819, 107eqtrd 2443 . . . . . . . . 9 ++ ++ Neighbors USGrph ++ ++ substr ++ ++
10911, 18, 108rspcedvd 3165 . . . . . . . 8 ++ ++ Neighbors USGrph
11010, 109mpancom 667 . . . . . . 7 Neighbors USGrph
111110ex 432 . . . . . 6 Neighbors USGrph
112111exlimivv 1744 . . . . 5 Neighbors USGrph
1136, 112sylbi 195 . . . 4 Neighbors USGrph
114113impcom 428 . . 3 USGrph Neighbors
115114ralrimiva 2818 . 2 USGrph Neighbors
116 dffo3 6024 . 2 Neighbors Neighbors Neighbors
1175, 115, 116sylanbrc 662 1 USGrph Neighbors
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405  wex 1633   wcel 1842  wral 2754  wrex 2755  crab 2758  cvv 3059  cpr 3974  cop 3978   class class class wbr 4395   cmpt 4453   cxp 4821   crn 4824  wf 5565  wfo 5567  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  cc 9520  cc0 9522  c1 9523   caddc 9525   cmin 9841  c2 10626  c3 10627  cn0 10836  cuz 11127  ..^cfzo 11854  chash 12452  Word cword 12583   lastS clsw 12584   ++ cconcat 12585  cs1 12586   substr csubstr 12587   USGrph cusg 24747   Neighbors cnbgra 24834   ClWWalksN cclwwlkn 25166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-lsw 12592  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-usgra 24750  df-nbgra 24837  df-clwwlk 25168  df-clwwlkn 25169 This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1o  25513
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