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Theorem numacn 8426
Description: A well-orderable set has choice sequences of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numacn  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem numacn
Dummy variables  f 
g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  X  e.  dom  card )
3 elmapi 7437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  f : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
43adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
5 frn 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/)
} ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } ) )
76difss2d 3634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ~P X
)
8 sspwuni 4411 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ~P X  <->  U.
ran  f  C_  X
)
97, 8sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  C_  X
)
10 ssnum 8416 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\ 
U. ran  f  C_  X )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
112, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
12 ssdifin0 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ( ran  f  i^i  { (/) } )  =  (/) )
136, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( ran  f  i^i  {
(/) } )  =  (/) )
14 disjsn 4088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  i^i  { (/)
} )  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  ran  f )
1513, 14sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  -.  (/)  e.  ran  f
)
16 ac5num 8413 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  f  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  ran  f )  ->  E. h
( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )
1711, 15, 16syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y ) )
18 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A  e.  _V )
19 ffn 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  f  Fn  A )
204, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f  Fn  A )
21 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
h `  y )  =  ( h `  ( f `  x
) ) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  y  =  ( f `  x ) )
2321, 22eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
( h `  y
)  e.  y  <->  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2423ralrn 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. y  e.  ran  f ( h `  y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2520, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2726adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A. x  e.  A  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
28 acnlem 8425 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( h `  ( f `
 x ) )  e.  ( f `  x ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
2918, 27, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
3017, 29exlimddv 1702 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
3130ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
32 isacn 8421 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
3331, 32mpbird 232 . . 3  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  X  e. AC  A )
3433expcom 435 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
351, 34syl 16 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   cardccrd 8312  AC wacn 8315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-card 8316  df-acn 8319
This theorem is referenced by:  acnnum  8429  fodomnum  8434  acacni  8516  dfac13  8518  iundom  8913  iunctb  8945
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