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Theorem numacn 8322
Description: A well-orderable set has choice sequences of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numacn  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem numacn
Dummy variables  f 
g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3079 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  X  e.  dom  card )
3 elmapi 7336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  f : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
43adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
5 frn 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/)
} ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } ) )
76difss2d 3586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ~P X
)
8 sspwuni 4356 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ~P X  <->  U.
ran  f  C_  X
)
97, 8sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  C_  X
)
10 ssnum 8312 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\ 
U. ran  f  C_  X )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
112, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
12 ssdifin0 3860 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ( ran  f  i^i  { (/) } )  =  (/) )
136, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( ran  f  i^i  {
(/) } )  =  (/) )
14 disjsn 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  i^i  { (/)
} )  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  ran  f )
1513, 14sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  -.  (/)  e.  ran  f
)
16 ac5num 8309 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  f  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  ran  f )  ->  E. h
( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )
1711, 15, 16syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y ) )
18 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A  e.  _V )
19 ffn 5659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  f  Fn  A )
204, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f  Fn  A )
21 fveq2 5791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
h `  y )  =  ( h `  ( f `  x
) ) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  y  =  ( f `  x ) )
2321, 22eleq12d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
( h `  y
)  e.  y  <->  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2423ralrn 5947 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. y  e.  ran  f ( h `  y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2520, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2726adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A. x  e.  A  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
28 acnlem 8321 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( h `  ( f `
 x ) )  e.  ( f `  x ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
2918, 27, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
3017, 29exlimddv 1693 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
3130ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
32 isacn 8317 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
3331, 32mpbird 232 . . 3  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  X  e. AC  A )
3433expcom 435 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
351, 34syl 16 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    i^i cin 3427    C_ wss 3428   (/)c0 3737   ~Pcpw 3960   {csn 3977   U.cuni 4191   dom cdm 4940   ran crn 4941    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    ^m cmap 7316   cardccrd 8208  AC wacn 8211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-card 8212  df-acn 8215
This theorem is referenced by:  acnnum  8325  fodomnum  8330  acacni  8412  dfac13  8414  iundom  8809  iunctb  8841
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