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Theorem nulmbl2 22490
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol* ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11306 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
21ne0ii 3738 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
3 r19.2z 3858 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )
)
42, 3mpan 676 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )
5 simprl 764 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
6 mblss 22485 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
76adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
85, 7sstrd 3442 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
98rexlimiva 2875 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
109rexlimivw 2876 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
114, 10syl 17 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
12 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
14 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1514adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
17 ovolsscl 22439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1813, 15, 16, 17syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
19 difssd 3561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
20 ovolsscl 22439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2119, 15, 16, 20syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2218, 21readdcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2322ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2416ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  e.  RR )
25 difssd 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
267adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
27 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2827ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
29 simprrr 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  <_  x
)
30 ovollecl 22436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  ( vol* `  y )  e.  RR )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  e.  RR )
32 ovolsscl 22439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol* `  y )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3325, 26, 31, 32syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3424, 33readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3524, 28readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  x
)  e.  RR )
3618ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
3721ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
38 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4015ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
41 ovolsscl 22439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4239, 40, 24, 41syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
43 difssd 3561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
44 ovolsscl 22439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4543, 40, 24, 44syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4645, 33readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
47 simprrl 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
48 sslin 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5038, 40syl5ss 3443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
51 ovolss 22438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y
) ) )
5249, 50, 51syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y ) ) )
5340ssdifssd 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5426ssdifssd 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5553, 54unssd 3610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
56 ovolun 22452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) ) )
5753, 45, 54, 33, 56syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
58 ovollecl 22436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
5955, 46, 57, 58syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
60 ssun1 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
61 undif1 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6260, 61sseqtr4i 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
63 ssdif 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
65 difundir 3696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
6664, 65sseqtri 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
67 difun1 3703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
68 ssequn2 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
6947, 68sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7069difeq2d 3551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7167, 70syl5eqr 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7271uneq1d 3587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7366, 72syl5sseq 3480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
74 ovolss 22438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7573, 55, 74syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7637, 59, 46, 75, 57letrd 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
7736, 37, 42, 46, 52, 76le2addd 10232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
78 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
79 mblsplit 22486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8078, 40, 24, 79syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8180oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
8242recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8345recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8433recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8582, 83, 84addassd 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol* `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8681, 85eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8777, 86breqtrrd 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
88 difss 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
\  A )  C_  y
89 ovolss 22438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9088, 26, 89sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9133, 31, 28, 90, 29letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9233, 28, 24, 91leadd2dd 10228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9323, 34, 35, 87, 92letrd 9792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9493rexlimdvaa 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
9594ralimdva 2796 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
9695impcom 432 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) )
9722adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
9897rexrd 9690 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
99 simprr 766 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
100 xralrple 11498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol* `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
10198, 99, 100syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
10296, 101mpbird 236 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) )
103102expr 620 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
104103ralrimiva 2802 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
105 ismbl2 22481 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) ) )
10611, 104, 105sylanbrc 670 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    <_ cle 9676   RR+crp 11302   vol*covol 22413   volcvol 22415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-ovol 22416  df-vol 22418
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