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Theorem nulmbl2 18726
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol * ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
StepHypRef Expression
1 1rp 10237 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3368 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 10 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
4 r19.2z 3449 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )
)
53, 4mpan 654 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )
6 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
7 mblss 18722 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
87adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
96, 8sstrd 3110 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
109rexlimiva 2624 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
1110rexlimivw 2625 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
125, 11syl 17 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
13 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1413a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
15 elpwi 3538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1615adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
17 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
18 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
20 difss 3220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  z
2120a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
22 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2321, 16, 17, 22syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2419, 23readdcld 8742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2524ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2617ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  e.  RR )
27 difss 3220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
\  A )  C_  y
2827a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
298adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
30 rpre 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3130ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
32 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  <_  x
)
33 ovollecl 18674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol
* `  y )  <_  x )  ->  ( vol * `  y )  e.  RR )
3429, 31, 32, 33syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  e.  RR )
35 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol * `  y )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3628, 29, 34, 35syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3726, 36readdcld 8742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3826, 31readdcld 8742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  x
)  e.  RR )
3919ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
4023ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
41 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
4241a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4316ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
44 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4542, 43, 26, 44syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
46 difss 3220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  y )  C_  z
4746a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
48 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4947, 43, 26, 48syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
5049, 36readdcld 8742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
51 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
52 sslin 3302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5441, 43syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
55 ovolss 18676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y
) ) )
5653, 54, 55syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y ) ) )
5746, 43syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5827, 29syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5957, 58unssd 3261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
60 ovolun 18690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) ) )
6157, 49, 58, 36, 60syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
62 ovollecl 18674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
6359, 50, 61, 62syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
64 ssun1 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
65 undif1 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6664, 65sseqtr4i 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
67 ssdif 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6866, 67ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
69 difundir 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
7068, 69sseqtri 3131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
71 difun1 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
72 ssequn2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
7351, 72sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7473difeq2d 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7571, 74syl5eqr 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7675uneq1d 3238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7770, 76syl5sseq 3147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
78 ovolss 18676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7977, 59, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
8040, 63, 50, 79, 61letrd 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
8139, 40, 45, 50, 56, 80le2addd 9270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
82 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
83 mblsplit 18723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8482, 43, 26, 83syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8584oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
8645recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8749recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8836recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8986, 87, 88addassd 8737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol * `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
9085, 89eqtrd 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
9181, 90breqtrrd 3946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
92 ovolss 18676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9327, 29, 92sylancr 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9436, 34, 31, 93, 32letrd 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9536, 31, 26, 94leadd2dd 9267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9625, 37, 38, 91, 95letrd 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9796expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  dom  vol )  ->  ( ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
)  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
9897rexlimdva 2629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
9998ralimdva 2583 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
10099impcom 421 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) )
10124adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
102101rexrd 8761 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
103 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
104 xralrple 10410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol * `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
105102, 103, 104syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
106100, 105mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) )
107106expr 601 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
108107ralrimiva 2588 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
109 ismbl2 18718 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
11012, 108, 109sylanbrc 648 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510    \ cdif 3075    u. cun 3076    i^i cin 3077    C_ wss 3078   (/)c0 3362   ~Pcpw 3530   class class class wbr 3920   dom cdm 4580   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616   1c1 8618    + caddc 8620   RR*cxr 8746    <_ cle 8748   RR+crp 10233   vol *covol 18654   volcvol 18655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-ovol 18656  df-vol 18657
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