Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nulmbl2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nulmbl2 22568
 Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has while "outer measure zero" means that for any there is a containing with volume less than . Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11329 . . . . 5
21ne0ii 3729 . . . 4
3 r19.2z 3849 . . . 4
42, 3mpan 684 . . 3
5 simprl 772 . . . . . 6
6 mblss 22563 . . . . . . 7
76adantr 472 . . . . . 6
85, 7sstrd 3428 . . . . 5
98rexlimiva 2868 . . . 4
109rexlimivw 2869 . . 3
114, 10syl 17 . 2
12 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
14 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
16 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
17 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . 12
1813, 15, 16, 17syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
19 difssd 3550 . . . . . . . . . . . 12
20 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . 12
2119, 15, 16, 20syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
2218, 21readdcld 9688 . . . . . . . . . 10
2322ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
2416ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
25 difssd 3550 . . . . . . . . . . 11
267adantl 473 . . . . . . . . . . 11
27 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . 13
2827ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12
29 simprrr 783 . . . . . . . . . . . 12
30 ovollecl 22514 . . . . . . . . . . . 12
3126, 28, 29, 30syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
32 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . 11
3325, 26, 31, 32syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
3424, 33readdcld 9688 . . . . . . . . 9
3524, 28readdcld 9688 . . . . . . . . 9
3618ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
3721ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
38 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4015ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
41 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . 12
4239, 40, 24, 41syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
43 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . 13
44 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 40, 24, 44syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
4645, 33readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11
47 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . 13
48 sslin 3649 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5038, 40syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . 12
51 ovolss 22516 . . . . . . . . . . . 12
5249, 50, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
5340ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . . 14
5426ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . . 14
5553, 54unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13
56 ovolun 22530 . . . . . . . . . . . . . 14
5753, 45, 54, 33, 56syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13
58 ovollecl 22514 . . . . . . . . . . . . 13
5955, 46, 57, 58syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
60 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 undif1 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6260, 61sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 ssdif 3557 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 difundir 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
67 difun1 3694 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 ssequn2 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6947, 68sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7167, 70syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271uneq1d 3578 . . . . . . . . . . . . . 14
7366, 72syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . 13
74 ovolss 22516 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 55, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
7637, 59, 46, 75, 57letrd 9809 . . . . . . . . . . 11
7736, 37, 42, 46, 52, 76le2addd 10253 . . . . . . . . . 10
78 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13
79 mblsplit 22564 . . . . . . . . . . . . 13
8078, 40, 24, 79syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
8180oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
8242recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
8345recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
8433recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
8582, 83, 84addassd 9683 . . . . . . . . . . 11
8681, 85eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
8777, 86breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9
88 difss 3549 . . . . . . . . . . . 12
89 ovolss 22516 . . . . . . . . . . . 12
9088, 26, 89sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
9133, 31, 28, 90, 29letrd 9809 . . . . . . . . . 10
9233, 28, 24, 91leadd2dd 10249 . . . . . . . . 9
9323, 34, 35, 87, 92letrd 9809 . . . . . . . 8
9493rexlimdvaa 2872 . . . . . . 7
9594ralimdva 2805 . . . . . 6
9695impcom 437 . . . . 5
9722adantl 473 . . . . . . 7
9897rexrd 9708 . . . . . 6
99 simprr 774 . . . . . 6
100 xralrple 11521 . . . . . 6
10198, 99, 100syl2anc 673 . . . . 5
10296, 101mpbird 240 . . . 4
103102expr 626 . . 3
104103ralrimiva 2809 . 2
105 ismbl2 22559 . 2
10611, 104, 105sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942   class class class wbr 4395   cdm 4839  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  c1 9558   caddc 9560  cxr 9692   cle 9694  crp 11325  covol 22491  cvol 22493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-ovol 22494  df-vol 22496 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator