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Theorem nulmbl2 22073
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol* ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11249 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
21ne0ii 3800 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
3 r19.2z 3921 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )
)
42, 3mpan 670 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )
5 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
6 mblss 22068 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
85, 7sstrd 3509 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
98rexlimiva 2945 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
109rexlimivw 2946 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
114, 10syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
12 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
14 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
17 ovolsscl 22023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1813, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
19 difssd 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
20 ovolsscl 22023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2119, 15, 16, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2218, 21readdcld 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2416ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  e.  RR )
25 difssd 3628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
267adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
27 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
29 simprrr 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  <_  x
)
30 ovollecl 22020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  ( vol* `  y )  e.  RR )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  e.  RR )
32 ovolsscl 22023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol* `  y )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3325, 26, 31, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3424, 33readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3524, 28readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  x
)  e.  RR )
3618ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
3721ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
38 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4015ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
41 ovolsscl 22023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4239, 40, 24, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
43 difssd 3628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
44 ovolsscl 22023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4543, 40, 24, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4645, 33readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
47 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
48 sslin 3720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5038, 40syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
51 ovolss 22022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y
) ) )
5249, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y ) ) )
5340ssdifssd 3638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5426ssdifssd 3638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5553, 54unssd 3676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
56 ovolun 22036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) ) )
5753, 45, 54, 33, 56syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
58 ovollecl 22020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
5955, 46, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
60 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
61 undif1 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6260, 61sseqtr4i 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
63 ssdif 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
65 difundir 3758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
6664, 65sseqtri 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
67 difun1 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
68 ssequn2 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
6947, 68sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7069difeq2d 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7167, 70syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7271uneq1d 3653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7366, 72syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
74 ovolss 22022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7573, 55, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7637, 59, 46, 75, 57letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
7736, 37, 42, 46, 52, 76le2addd 10191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
78 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
79 mblsplit 22069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8078, 40, 24, 79syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8180oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
8242recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8345recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8433recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8582, 83, 84addassd 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol* `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8681, 85eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8777, 86breqtrrd 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
88 difss 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
\  A )  C_  y
89 ovolss 22022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9088, 26, 89sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9133, 31, 28, 90, 29letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9233, 28, 24, 91leadd2dd 10188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9323, 34, 35, 87, 92letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9493rexlimdvaa 2950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
9594ralimdva 2865 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
9695impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) )
9722adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
9897rexrd 9660 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
99 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
100 xralrple 11429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol* `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
10198, 99, 100syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
10296, 101mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) )
103102expr 615 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
104103ralrimiva 2871 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
105 ismbl2 22064 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) ) )
10611, 104, 105sylanbrc 664 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512   RR*cxr 9644    <_ cle 9646   RR+crp 11245   vol*covol 22000   volcvol 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-ovol 22002  df-vol 22003
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