Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nulmbl2 Unicode version

Theorem nulmbl2 18726
 Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has while "outer measure zero" means that for any there is a containing with volume less than . Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem nulmbl2
StepHypRef Expression
1 1rp 10237 . . . . 5
2 ne0i 3368 . . . . 5
31, 2ax-mp 10 . . . 4
4 r19.2z 3449 . . . 4
53, 4mpan 654 . . 3
6 simprl 735 . . . . . 6
7 mblss 18722 . . . . . . 7
87adantr 453 . . . . . 6
96, 8sstrd 3110 . . . . 5
109rexlimiva 2624 . . . 4
1110rexlimivw 2625 . . 3
125, 11syl 17 . 2
13 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14
1413a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
15 elpwi 3538 . . . . . . . . . . . . . 14
1615adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
17 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
18 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . 13
1914, 16, 17, 18syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12
20 difss 3220 . . . . . . . . . . . . . 14
2120a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
22 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 16, 17, 22syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12
2419, 23readdcld 8742 . . . . . . . . . . 11
2524ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10
2617ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11
27 difss 3220 . . . . . . . . . . . . 13
2827a1i 12 . . . . . . . . . . . 12
298adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
30 rpre 10239 . . . . . . . . . . . . . 14
3130ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . 13
32 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . 13
33 ovollecl 18674 . . . . . . . . . . . . 13
3429, 31, 32, 33syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12
35 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . 12
3628, 29, 34, 35syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11
3726, 36readdcld 8742 . . . . . . . . . 10
3826, 31readdcld 8742 . . . . . . . . . 10
3919ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12
4023ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12
41 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14
4241a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
4316ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13
44 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 43, 26, 44syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12
46 difss 3220 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
48 ovolsscl 18677 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 43, 26, 48syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
5049, 36readdcld 8742 . . . . . . . . . . . 12
51 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . 14
52 sslin 3302 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
5441, 43syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . 13
55 ovolss 18676 . . . . . . . . . . . . 13
5653, 54, 55syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12
5746, 43syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15
5827, 29syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58unssd 3261 . . . . . . . . . . . . . 14
60 ovolun 18690 . . . . . . . . . . . . . . 15
6157, 49, 58, 36, 60syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ovollecl 18674 . . . . . . . . . . . . . 14
6359, 50, 61, 62syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
64 ssun1 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65 undif1 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6664, 65sseqtr4i 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 ssdif 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6866, 67ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 difundir 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7068, 69sseqtri 3131 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 difun1 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 ssequn2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7351, 72sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473difeq2d 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7571, 74syl5eqr 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675uneq1d 3238 . . . . . . . . . . . . . . 15
7770, 76syl5sseq 3147 . . . . . . . . . . . . . 14
78 ovolss 18676 . . . . . . . . . . . . . 14
7977, 59, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13
8040, 63, 50, 79, 61letrd 8853 . . . . . . . . . . . 12
8139, 40, 45, 50, 56, 80le2addd 9270 . . . . . . . . . . 11
82 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14
83 mblsplit 18723 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 43, 26, 83syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
8584oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . 12
8645recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13
8749recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13
8836recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13
8986, 87, 88addassd 8737 . . . . . . . . . . . 12
9085, 89eqtrd 2285 . . . . . . . . . . 11
9181, 90breqtrrd 3946 . . . . . . . . . 10
92 ovolss 18676 . . . . . . . . . . . . 13
9327, 29, 92sylancr 647 . . . . . . . . . . . 12
9436, 34, 31, 93, 32letrd 8853 . . . . . . . . . . 11
9536, 31, 26, 94leadd2dd 9267 . . . . . . . . . 10
9625, 37, 38, 91, 95letrd 8853 . . . . . . . . 9
9796expr 601 . . . . . . . 8
9897rexlimdva 2629 . . . . . . 7
9998ralimdva 2583 . . . . . 6
10099impcom 421 . . . . 5
10124adantl 454 . . . . . . 7
102101rexrd 8761 . . . . . 6
103 simprr 736 . . . . . 6
104 xralrple 10410 . . . . . 6
105102, 103, 104syl2anc 645 . . . . 5
106100, 105mpbird 225 . . . 4
107106expr 601 . . 3
108107ralrimiva 2588 . 2
109 ismbl2 18718 . 2
11012, 108, 109sylanbrc 648 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  wrex 2510   cdif 3075   cun 3076   cin 3077   wss 3078  c0 3362  cpw 3530   class class class wbr 3920   cdm 4580  cfv 4592  (class class class)co 5710  cr 8616  c1 8618   caddc 8620  cxr 8746   cle 8748  crp 10233  covol 18654  cvol 18655 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-ovol 18656  df-vol 18657
 Copyright terms: Public domain W3C validator