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Theorem nulmbl2 19384
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol * ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10572 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3594 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
4 r19.2z 3677 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )
)
53, 4mpan 652 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )
6 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
7 mblss 19380 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
96, 8sstrd 3318 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
109rexlimiva 2785 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
1110rexlimivw 2786 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
125, 11syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
13 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
15 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
18 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
20 difssd 3435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
21 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2220, 16, 17, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2319, 22readdcld 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2517ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  e.  RR )
26 difssd 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
278adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
28 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2928ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
30 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  <_  x
)
31 ovollecl 19332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol
* `  y )  <_  x )  ->  ( vol * `  y )  e.  RR )
3227, 29, 30, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  e.  RR )
33 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol * `  y )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3525, 34readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3625, 29readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  x
)  e.  RR )
3719ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
3822ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
39 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4116ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
42 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4340, 41, 25, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
44 difssd 3435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
45 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4644, 41, 25, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4746, 34readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
48 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
49 sslin 3527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5139, 41syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
52 ovolss 19334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y
) ) )
5350, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y ) ) )
5441ssdifssd 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5527ssdifssd 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5654, 55unssd 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
57 ovolun 19348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) ) )
5854, 46, 55, 34, 57syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
59 ovollecl 19332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
6056, 47, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
61 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
62 undif1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6361, 62sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
64 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
66 difundir 3554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
6765, 66sseqtri 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
68 difun1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
69 ssequn2 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
7048, 69sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7170difeq2d 3425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7268, 71syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7372uneq1d 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7467, 73syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
75 ovolss 19334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7674, 56, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7738, 60, 47, 76, 58letrd 9183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
7837, 38, 43, 47, 53, 77le2addd 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
79 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
80 mblsplit 19381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8179, 41, 25, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8281oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
8343recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8446recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8534recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8683, 84, 85addassd 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol * `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
8782, 86eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
8878, 87breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
89 difss 3434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
\  A )  C_  y
90 ovolss 19334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9189, 27, 90sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9234, 32, 29, 91, 30letrd 9183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9334, 29, 25, 92leadd2dd 9597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9424, 35, 36, 88, 93letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9594rexlimdvaa 2791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
9695ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
9796impcom 420 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) )
9823adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
9998rexrd 9090 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
100 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
101 xralrple 10747 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol * `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
10299, 100, 101syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
10397, 102mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) )
104103expr 599 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
105104ralrimiva 2749 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
106 ismbl2 19376 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 646 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949   RR*cxr 9075    <_ cle 9077   RR+crp 10568   vol *covol 19312   volcvol 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ovol 19314  df-vol 19315
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