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Theorem nulmbl2 21021
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol* ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10998 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3646 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
4 r19.2z 3772 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )
)
53, 4mpan 670 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )
6 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
7 mblss 21017 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
96, 8sstrd 3369 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
109rexlimiva 2839 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
1110rexlimivw 2840 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
125, 11syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
13 inss1 3573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
15 elpwi 3872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
18 ovolsscl 20972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
20 difssd 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
21 ovolsscl 20972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2220, 16, 17, 21syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2319, 22readdcld 9416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2517ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  e.  RR )
26 difssd 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
278adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
28 rpre 11000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
30 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  <_  x
)
31 ovollecl 20969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  ( vol* `  y )  e.  RR )
3227, 29, 30, 31syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  e.  RR )
33 ovolsscl 20972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol* `  y )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3525, 34readdcld 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3625, 29readdcld 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  x
)  e.  RR )
3719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
3822ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
39 inss1 3573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
42 ovolsscl 20972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4340, 41, 25, 42syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
44 difssd 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
45 ovolsscl 20972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4644, 41, 25, 45syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4746, 34readdcld 9416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
48 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
49 sslin 3579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5139, 41syl5ss 3370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
52 ovolss 20971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y
) ) )
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y ) ) )
5441ssdifssd 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5527ssdifssd 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5654, 55unssd 3535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
57 ovolun 20985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) ) )
5854, 46, 55, 34, 57syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
59 ovollecl 20969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
6056, 47, 58, 59syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
61 ssun1 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
62 undif1 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6361, 62sseqtr4i 3392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
64 ssdif 3494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
66 difundir 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
6765, 66sseqtri 3391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
68 difun1 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
69 ssequn2 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
7048, 69sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7170difeq2d 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7268, 71syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7372uneq1d 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7467, 73syl5sseq 3407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
75 ovolss 20971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7674, 56, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7738, 60, 47, 76, 58letrd 9531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
7837, 38, 43, 47, 53, 77le2addd 9960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
79 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
80 mblsplit 21018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8179, 41, 25, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8281oveq1d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
8343recnd 9415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8446recnd 9415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8534recnd 9415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8683, 84, 85addassd 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol* `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8782, 86eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8878, 87breqtrrd 4321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
89 difss 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
\  A )  C_  y
90 ovolss 20971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9189, 27, 90sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9234, 32, 29, 91, 30letrd 9531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9334, 29, 25, 92leadd2dd 9957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9424, 35, 36, 88, 93letrd 9531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9594rexlimdvaa 2845 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
9695ralimdva 2797 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
9796impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) )
9823adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
9998rexrd 9436 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
100 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
101 xralrple 11178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol* `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
10299, 100, 101syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
10397, 102mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) )
104103expr 615 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
105104ralrimiva 2802 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
106 ismbl2 21013 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 664 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719    \ cdif 3328    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   class class class wbr 4295   dom cdm 4843   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RRcr 9284   1c1 9286    + caddc 9288   RR*cxr 9420    <_ cle 9422   RR+crp 10994   vol*covol 20949   volcvol 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-ioo 11307  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-ovol 20951  df-vol 20952
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