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Theorem nulmbl2 21774
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol* ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11225 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3791 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
4 r19.2z 3917 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )
)
53, 4mpan 670 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x ) )
6 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
7 mblss 21769 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
96, 8sstrd 3514 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
109rexlimiva 2951 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
1110rexlimivw 2952 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
125, 11syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
13 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
15 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
18 ovolsscl 21724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
20 difssd 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
21 ovolsscl 21724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2220, 16, 17, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2319, 22readdcld 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2517ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  e.  RR )
26 difssd 3632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
278adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
28 rpre 11227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
30 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  <_  x
)
31 ovollecl 21721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  ( vol* `  y )  e.  RR )
3227, 29, 30, 31syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  y )  e.  RR )
33 ovolsscl 21724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol* `  y )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3525, 34readdcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3625, 29readdcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  x
)  e.  RR )
3719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
3822ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
39 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
42 ovolsscl 21724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4340, 41, 25, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
44 difssd 3632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
45 ovolsscl 21724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4644, 41, 25, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4746, 34readdcld 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
48 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
49 sslin 3724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5139, 41syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
52 ovolss 21723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y
) ) )
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol* `  ( z  i^i  y ) ) )
5441ssdifssd 3642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5527ssdifssd 3642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5654, 55unssd 3680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
57 ovolun 21737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) ) )
5854, 46, 55, 34, 57syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
59 ovollecl 21721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
6056, 47, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
61 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
62 undif1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6361, 62sseqtr4i 3537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
64 ssdif 3639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
66 difundir 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
6765, 66sseqtri 3536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
68 difun1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
69 ssequn2 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
7048, 69sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7170difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7268, 71syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7372uneq1d 3657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7467, 73syl5sseq 3552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
75 ovolss 21723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7674, 56, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol* `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7738, 60, 47, 76, 58letrd 9739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
7837, 38, 43, 47, 53, 77le2addd 10171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
79 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
80 mblsplit 21770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8179, 41, 25, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  z )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) ) )
8281oveq1d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol* `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
8343recnd 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8446recnd 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8534recnd 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8683, 84, 85addassd 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol* `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol* `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8782, 86eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol* `  ( z  \  y
) )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) ) )
8878, 87breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) ) )
89 difss 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
\  A )  C_  y
90 ovolss 21723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9189, 27, 90sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol* `  y ) )
9234, 32, 29, 91, 30letrd 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol* `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9334, 29, 25, 92leadd2dd 10168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  z )  +  ( vol* `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9424, 35, 36, 88, 93letrd 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) )
9594rexlimdvaa 2956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
9695ralimdva 2872 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
9796impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) )
9823adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
9998rexrd 9644 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
100 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  z )  e.  RR )
101 xralrple 11405 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol* `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol* `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol* `  z )  +  x
) ) )
10299, 100, 101syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol* `  z )  +  x
) ) )
10397, 102mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol* `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) )
104103expr 615 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol* `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
105104ralrimiva 2878 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) )
106 ismbl2 21765 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol* `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol* `  z ) ) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 664 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol* `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   1c1 9494    + caddc 9496   RR*cxr 9628    <_ cle 9630   RR+crp 11221   vol*covol 21701   volcvol 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-ovol 21703  df-vol 21704
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