Theorem ntrval 8952

Description: The interior of a subset of a topology's base set is the union of all the open sets it includes. Definition of interior of [Munkres] p. 94.

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
ntrval	|- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((int` J)` S) = U.{x e. J | x C_ S})

Distinct variable groups:   x,J   x,S   x,X

Proof of Theorem ntrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2	1	ntrfval 8943	. . . . 5 |- (J e. Top -> (int` J) = {<.y, z>. | (y C_ X /\ z = U.{x e. J | x C_ y})})
3	2	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (int` J) = {<.y, z>. | (y C_ X /\ z = U.{x e. J | x C_ y})})
4		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
5	4	elpw 3037	. . . . . 6 |- (y e. ~PX <-> y C_ X)
6	5	anbi1i 539	. . . . 5 |- ((y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y}) <-> (y C_ X /\ z = U.{x e. J | x C_ y}))
7	6	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.y, z>. | (y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y})} = {<.y, z>. | (y C_ X /\ z = U.{x e. J | x C_ y})}
8	3, 7	syl6eqr 1946	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (int` J) = {<.y, z>. | (y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y})})
9	8	fveq1d 4683	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((int` J)` S) = ({<.y, z>. | (y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y})}` S))
10		uniexg 3795	. . . . . 6 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
11	10, 1	syl5eqel 1975	. . . . 5 |- (J e. Top -> X e. _V)
12		elpw2g 3463	. . . . . 6 |- (X e. _V -> (S e. ~PX <-> S C_ X))
13	12	biimprd 171	. . . . 5 |- (X e. _V -> (S C_ X -> S e. ~PX))
14	11, 13	syl 12	. . . 4 |- (J e. Top -> (S C_ X -> S e. ~PX))
15	14	imp 377	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S e. ~PX)
16		rabexg 3460	. . . . 5 |- (J e. Top -> {x e. J | x C_ S} e. _V)
17		uniexg 3795	. . . . 5 |- ({x e. J | x C_ S} e. _V -> U.{x e. J | x C_ S} e. _V)
18	16, 17	syl 12	. . . 4 |- (J e. Top -> U.{x e. J | x C_ S} e. _V)
19	18	adantr 425	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> U.{x e. J | x C_ S} e. _V)
20		sseq2 2639	. . . . . 6 |- (y = S -> (x C_ y <-> x C_ S))
21	20	rabbidv 2287	. . . . 5 |- (y = S -> {x e. J | x C_ y} = {x e. J | x C_ S})
22	21	unieqd 3188	. . . 4 |- (y = S -> U.{x e. J | x C_ y} = U.{x e. J | x C_ S})
23		eqid 1884	. . . 4 |- {<.y, z>. | (y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y})} = {<.y, z>. | (y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y})}
24	22, 23	fvopab4g 4742	. . 3 |- ((S e. ~PX /\ U.{x e. J | x C_ S} e. _V) -> ({<.y, z>. | (y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y})}` S) = U.{x e. J | x C_ S})
25	15, 19, 24	syl11anc 524	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ({<.y, z>. | (y e. ~PX /\ z = U.{x e. J | x C_ y})}` S) = U.{x e. J | x C_ S})
26	9, 25	eqtrd 1925	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((int` J)` S) = U.{x e. J | x C_ S})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  {copab 3395  ` cfv 3998  Topctop 8857  intcnt 8937

This theorem is referenced by:  ntropn 8960  clsval2 8961  ntrss2 8966  isopn3 8973  ntreq0 8984  neiint 8995  ssntr 15405

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-ntr 8940

Copyright terms: Public domain