Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntruni Structured version   Unicode version

Theorem ntruni 28693
Description: A union of interiors is a subset of the interior of the union. The reverse inclusion may not hold. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ntruni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntruni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  U_ o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
Distinct variable groups:    o, J    o, O    o, X

Proof of Theorem ntruni
StepHypRef Expression
1 elssuni 4232 . . . 4  |-  ( o  e.  O  ->  o  C_ 
U. O )
2 sspwuni 4367 . . . . 5  |-  ( O 
C_  ~P X  <->  U. O  C_  X )
3 ntruni.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
43ntrss 18801 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. O  C_  X  /\  o  C_  U. O )  ->  ( ( int `  J ) `  o
)  C_  ( ( int `  J ) `  U. O ) )
543expia 1190 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. O  C_  X )  ->  ( o  C_  U. O  ->  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) ) )
62, 5sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  ( o  C_  U. O  ->  ( ( int `  J ) `  o )  C_  (
( int `  J
) `  U. O ) ) )
71, 6syl5 32 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  ( o  e.  O  ->  ( ( int `  J ) `  o )  C_  (
( int `  J
) `  U. O ) ) )
87ralrimiv 2828 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  A. o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
9 iunss 4322 . 2  |-  ( U_ o  e.  O  (
( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O )  <->  A. o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
108, 9sylibr 212 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  U_ o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   U.cuni 4202   U_ciun 4282   ` cfv 5529   Topctop 18640   intcnt 18763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-top 18645  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator