MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrtop Structured version   Unicode version

Theorem ntrtop 19754
Description: The interior of a topology's underlying set is entire set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntrtop  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( int `  J
) `  X )  =  X )

Proof of Theorem ntrtop
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21topopn 19597 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3 ssid 3458 . . 3  |-  X  C_  X
41isopn3 19750 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( X  e.  J  <->  ( ( int `  J
) `  X )  =  X ) )
53, 4mpan2 669 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  X )  =  X ) )
62, 5mpbid 210 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( int `  J
) `  X )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1403    e. wcel 1840    C_ wss 3411   U.cuni 4188   ` cfv 5523   Topctop 19576   intcnt 19700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-top 19581  df-ntr 19703
This theorem is referenced by:  0ntr  19755  dvidlem  22501  dveflem  22562  ioccncflimc  37023  icocncflimc  37027
  Copyright terms: Public domain W3C validator