MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Unicode version

Theorem ntrss2 19643
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntrss2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 19622 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss2 3633 . . . 4  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  ~P S
43unissi 4186 . . 3  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  U. ~P S
5 unipw 4612 . . 3  |-  U. ~P S  =  S
64, 5sseqtri 3449 . 2  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  S
72, 6syl6eqss 3467 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    i^i cin 3388    C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   ` cfv 5496   Topctop 19479   intcnt 19603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-top 19484  df-ntr 19606
This theorem is referenced by:  ntrin  19647  neiint  19691  opnnei  19707  topssnei  19711  maxlp  19734  restntr  19769  iscnp4  19850  cnntri  19858  cnntr  19862  cnprest  19876  llycmpkgen2  20136  xkococnlem  20245  flimopn  20561  fclsneii  20603  fcfnei  20621  subgntr  20690  iccntr  21411  rectbntr0  21422  bcthlem5  21852  limcflf  22370  dvbss  22390  perfdvf  22392  dvreslem  22398  dvcnp2  22408  dvnres  22419  dvaddbr  22426  dvcmulf  22433  dvmptres2  22450  dvmptcmul  22452  dvmptntr  22459  dvcnvre  22505  taylthlem1  22853  taylthlem2  22854  ulmdvlem3  22882  ubthlem1  25903  lgamucov2  28770  kur14lem6  28844  cvmlift2lem12  28948  opnbnd  30309  opnregcld  30314  cldregopn  30315  dvresntr  31879
  Copyright terms: Public domain W3C validator