MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Unicode version

Theorem ntrss2 19536
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntrss2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 19515 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss2 3704 . . . 4  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  ~P S
43unissi 4257 . . 3  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  U. ~P S
5 unipw 4687 . . 3  |-  U. ~P S  =  S
64, 5sseqtri 3521 . 2  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  S
72, 6syl6eqss 3539 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234   ` cfv 5578   Topctop 19372   intcnt 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-top 19377  df-ntr 19499
This theorem is referenced by:  ntrin  19540  neiint  19583  opnnei  19599  topssnei  19603  maxlp  19626  restntr  19661  iscnp4  19742  cnntri  19750  cnntr  19754  cnprest  19768  llycmpkgen2  20029  xkococnlem  20138  flimopn  20454  fclsneii  20496  fcfnei  20514  subgntr  20583  iccntr  21304  rectbntr0  21315  bcthlem5  21745  limcflf  22263  dvbss  22283  perfdvf  22285  dvreslem  22291  dvcnp2  22301  dvnres  22312  dvaddbr  22319  dvcmulf  22326  dvmptres2  22343  dvmptcmul  22345  dvmptntr  22352  dvcnvre  22398  taylthlem1  22746  taylthlem2  22747  ulmdvlem3  22775  ubthlem1  25764  lgamucov2  28559  kur14lem6  28633  cvmlift2lem12  28737  opnbnd  30119  opnregcld  30124  cldregopn  30125  dvresntr  31667
  Copyright terms: Public domain W3C validator