MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Unicode version

Theorem ntrss2 19352
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntrss2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 19331 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss2 3719 . . . 4  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  ~P S
43unissi 4268 . . 3  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  U. ~P S
5 unipw 4697 . . 3  |-  U. ~P S  =  S
64, 5sseqtri 3536 . 2  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  S
72, 6syl6eqss 3554 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Topctop 19189   intcnt 19312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-top 19194  df-ntr 19315
This theorem is referenced by:  ntrin  19356  neiint  19399  opnnei  19415  topssnei  19419  maxlp  19442  restntr  19477  iscnp4  19558  cnntri  19566  cnntr  19570  cnprest  19584  llycmpkgen2  19814  xkococnlem  19923  flimopn  20239  fclsneii  20281  fcfnei  20299  subgntr  20368  iccntr  21089  rectbntr0  21100  bcthlem5  21530  limcflf  22048  dvbss  22068  perfdvf  22070  dvreslem  22076  dvcnp2  22086  dvnres  22097  dvaddbr  22104  dvcmulf  22111  dvmptres2  22128  dvmptcmul  22130  dvmptntr  22137  dvcnvre  22183  taylthlem1  22530  taylthlem2  22531  ulmdvlem3  22559  ubthlem1  25490  lgamucov2  28249  kur14lem6  28323  cvmlift2lem12  28427  opnbnd  29748  opnregcld  29753  cldregopn  29754  dvresntr  31274
  Copyright terms: Public domain W3C validator