MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Unicode version

Theorem ntrss2 18561
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntrss2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 18540 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss2 3568 . . . 4  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  ~P S
43unissi 4111 . . 3  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  U. ~P S
5 unipw 4539 . . 3  |-  U. ~P S  =  S
64, 5sseqtri 3385 . 2  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  S
72, 6syl6eqss 3403 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   ` cfv 5415   Topctop 18398   intcnt 18521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-top 18403  df-ntr 18524
This theorem is referenced by:  ntrin  18565  neiint  18608  opnnei  18624  topssnei  18628  maxlp  18651  restntr  18686  iscnp4  18767  cnntri  18775  cnntr  18779  cnprest  18793  llycmpkgen2  19023  xkococnlem  19132  flimopn  19448  fclsneii  19490  fcfnei  19508  subgntr  19577  iccntr  20298  rectbntr0  20309  bcthlem5  20739  limcflf  21256  dvbss  21276  perfdvf  21278  dvreslem  21284  dvcnp2  21294  dvnres  21305  dvaddbr  21312  dvcmulf  21319  dvmptres2  21336  dvmptcmul  21338  dvmptntr  21345  dvcnvre  21391  taylthlem1  21781  taylthlem2  21782  ulmdvlem3  21810  ubthlem1  24190  lgamucov2  26939  kur14lem6  27013  cvmlift2lem12  27117  opnbnd  28429  opnregcld  28434  cldregopn  28435
  Copyright terms: Public domain W3C validator