MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntropn Structured version   Unicode version

Theorem ntropn 18675
Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntropn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  e.  J )

Proof of Theorem ntropn
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 18662 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss1 3591 . . . 4  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  J
4 uniopn 18532 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ~P S
)  C_  J )  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  e.  J
)
53, 4mpan2 671 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  e.  J )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  e.  J
)
72, 6eqeltrd 2517 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  e.  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   ` cfv 5439   Topctop 18520   intcnt 18643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-top 18525  df-ntr 18646
This theorem is referenced by:  ntrval2  18677  ntrss3  18686  ntrin  18687  cmclsopn  18688  isopn3  18692  ntridm  18694  neiint  18730  topssnei  18750  maxlp  18773  restntr  18808  iscnp4  18889  cnntri  18897  cnprest  18915  llycmpkgen2  19145  xkococnlem  19254  flimopn  19570  fclsneii  19612  fcfnei  19630  subgntr  19699  iccntr  20420  rectbntr0  20431  bcthlem5  20861  bcth3  20864  limcflf  21378  perfdvf  21400  ubthlem1  24293  cvmlift2lem12  27225  opnregcld  28551
  Copyright terms: Public domain W3C validator