Theorem ntrin 15411

Description: A pairwise intersection of interiors is the interior of the intersection. This does not always hold for arbitrary intersections.

Hypothesis

Ref	Expression
ntrin.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
ntrin	|- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (A i^i B)) = (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)))

Proof of Theorem ntrin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 2812	. . . . . 6 |- (A i^i B) C_ A
2		ntrin.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
3	2	ntrss 8964	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ (A i^i B) C_ A) -> ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` A))
4	1, 3	mp3an3 1180	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` A))
5	4	3adant3 896	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` A))
6		inss2 2813	. . . . . 6 |- (A i^i B) C_ B
7	2	ntrss 8964	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ B C_ X /\ (A i^i B) C_ B) -> ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` B))
8	6, 7	mp3an3 1180	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ B C_ X) -> ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` B))
9	8	3adant2 895	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` B))
10	5, 9	jca 310	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` A) /\ ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` B)))
11		ssin 2814	. . 3 |- ((((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` A) /\ ((int` J)` (A i^i B)) C_ ((int` J)` B)) <-> ((int` J)` (A i^i B)) C_ (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)))
12	10, 11	sylib 215	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (A i^i B)) C_ (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)))
13		simp1 876	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> J e. Top)
14		ssinss1 2821	. . . 4 |- (A C_ X -> (A i^i B) C_ X)
15	14	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (A i^i B) C_ X)
16	2	ntropn 8960	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> ((int` J)` A) e. J)
17	16	3adant3 896	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` A) e. J)
18	2	ntropn 8960	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ B C_ X) -> ((int` J)` B) e. J)
19	18	3adant2 895	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` B) e. J)
20		inopn 8869	. . . 4 |- ((J e. Top /\ ((int` J)` A) e. J /\ ((int` J)` B) e. J) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) e. J)
21	13, 17, 19, 20	syl111anc 1100	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) e. J)
22		inss1 2812	. . . . . . 7 |- (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ ((int` J)` A)
23	22	a1i 8	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ ((int` J)` A))
24	2	ntrss2 8966	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> ((int` J)` A) C_ A)
25	24	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` A) C_ A)
26	23, 25	sstrd 2627	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ A)
27		inss2 2813	. . . . . . 7 |- (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ ((int` J)` B)
28	27	a1i 8	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ ((int` J)` B))
29	2	ntrss2 8966	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ B C_ X) -> ((int` J)` B) C_ B)
30	29	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` B) C_ B)
31	28, 30	sstrd 2627	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ B)
32	26, 31	jca 310	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ A /\ (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ B))
33		ssin 2814	. . . 4 |- (((((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ A /\ (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ B) <-> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ (A i^i B))
34	32, 33	sylib 215	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ (A i^i B))
35	2	ssntr 15405	. . 3 |- (((J e. Top /\ (A i^i B) C_ X) /\ ((((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) e. J /\ (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ (A i^i B))) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ ((int` J)` (A i^i B)))
36	13, 15, 21, 34, 35	syl22anc 1101	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)) C_ ((int` J)` (A i^i B)))
37	12, 36	eqssd 2633	1 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (A i^i B)) = (((int` J)` A) i^i ((int` J)` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  intcnt 8937

This theorem is referenced by:  clsun 15413  neiin 15418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941

Copyright terms: Public domain