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Theorem ntreq0 19664
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntreq0  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, S    x, X

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21ntrval 19622 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
32eqeq1d 2384 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/) ) )
4 neq0 3722 . . . . 5  |-  ( -. 
U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/)  <->  E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S ) )
54con1bii 329 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  y  e. 
U. ( J  i^i  ~P S )  <->  U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/) )
6 ancom 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <-> 
( x  e.  ( J  i^i  ~P S
)  /\  y  e.  x ) )
7 elin 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P S )  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S ) )
87anbi1i 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ~P S )  /\  y  e.  x
)  <->  ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S )  /\  y  e.  x )
)
9 anass 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S )  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  J  /\  (
x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
106, 8, 93bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <-> 
( x  e.  J  /\  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
1110exbii 1675 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <->  E. x
( x  e.  J  /\  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
12 eluni 4166 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( J  i^i  ~P S )  <->  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) ) )
13 df-rex 2738 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
)  <->  E. x ( x  e.  J  /\  (
x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
1411, 12, 133bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( J  i^i  ~P S )  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) )
1514exbii 1675 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S
)  <->  E. y E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x ) )
16 rexcom4 3054 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  E. y E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) )
17 19.42v 1783 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
1817rexbii 2884 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
1915, 16, 183bitr2i 273 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S
)  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x ) )
2019notbii 294 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  y  e. 
U. ( J  i^i  ~P S )  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
215, 20bitr3i 251 . . 3  |-  ( U. ( J  i^i  ~P S
)  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
22 ralinexa 2834 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  (
x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
23 selpw 3934 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P S  <->  x  C_  S
)
24 neq0 3722 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  (/)  <->  E. y 
y  e.  x )
2524con1bii 329 . . . . 5  |-  ( -. 
E. y  y  e.  x  <->  x  =  (/) )
2623, 25imbi12i 324 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
2726ralbii 2813 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  (
x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
2821, 22, 273bitr2i 273 . 2  |-  ( U. ( J  i^i  ~P S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
293, 28syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   ` cfv 5496   Topctop 19479   intcnt 19603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-top 19484  df-ntr 19606
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