Theorem nthruz 7996

Description: The sequence NN, NN0, and ZZ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to NN0 but not NN and minus one belongs to ZZ but not NN0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 7995.

Assertion

Ref	Expression
nthruz	|- (NN C. NN0 /\ NN0 C. ZZ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 7311	. . 3 |- NN C_ NN0
2		0nn0 7322	. . . 4 |- 0 e. NN0
3		0nnn 7131	. . . 4 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 307	. . 3 |- (0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN)
5		ssnelpss 2937	. . 3 |- (NN C_ NN0 -> ((0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN) -> NN C. NN0))
6	1, 4, 5	mp2 54	. 2 |- NN C. NN0
7		nn0ssz 7361	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
8		1nn 7117	. . . . 5 |- 1 e. NN
9		nnnegz 7347	. . . . 5 |- (1 e. NN -> -u1 e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- -u1 e. ZZ
11		1re 6598	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	11	renegcli 6576	. . . . 5 |- -u1 e. RR
13		neg0 6575	. . . . . . 7 |- -u0 = 0
14		lt01 6871	. . . . . . 7 |- 0 < 1
15	13, 14	eqbrtri 3356	. . . . . 6 |- -u0 < 1
16		0re 6603	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
17	11, 16	ltnegcon1i 6855	. . . . . 6 |- (-u1 < 0 <-> -u0 < 1)
18	15, 17	mpbir 207	. . . . 5 |- -u1 < 0
19		lt0nnn0 7325	. . . . 5 |- ((-u1 e. RR /\ -u1 < 0) -> -. -u1 e. NN0)
20	12, 18, 19	mp2an 761	. . . 4 |- -. -u1 e. NN0
21	10, 20	pm3.2i 307	. . 3 |- (-u1 e. ZZ /\ -. -u1 e. NN0)
22		ssnelpss 2937	. . 3 |- (NN0 C_ ZZ -> ((-u1 e. ZZ /\ -. -u1 e. NN0) -> NN0 C. ZZ))
23	7, 21, 22	mp2 54	. 2 |- NN0 C. ZZ
24	6, 23	pm3.2i 307	1 |- (NN C. NN0 /\ NN0 C. ZZ)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  -ucneg 6446  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain