MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Structured version   Unicode version

Theorem nthruc 13862
Description: The sequence  NN,  ZZ,  QQ,  RR, and  CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to  ZZ but not  NN, one-half belongs to  QQ but not  ZZ, the square root of 2 belongs to  RR but not  QQ, and finally that the imaginary number  _i belongs to  CC but not  RR. See nthruz 13863 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 10896 . . . 4  |-  NN  C_  ZZ
2 0z 10887 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 0nnn 10579 . . . . 5  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3895 . . . 4  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  ZZ ) )
61, 4, 5mp2 9 . . 3  |-  NN  C.  ZZ
7 zssq 11201 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
8 1z 10906 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 2nn 10705 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 znq 11198 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  /  2
)  e.  QQ )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  QQ
12 halfnz 10951 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
1311, 12pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )
14 ssnelpss 3895 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  QQ  ->  ( (
( 1  /  2
)  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ZZ  C.  QQ ) )
157, 13, 14mp2 9 . . 3  |-  ZZ  C.  QQ
166, 15pm3.2i 455 . 2  |-  ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )
17 qssre 11204 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
18 sqrt2re 13861 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
19 sqrt2irr 13860 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
2019neli 2802 . . . . 5  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
2118, 20pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
22 ssnelpss 3895 . . . 4  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2
)  e.  QQ )  ->  QQ  C.  RR ) )
2317, 21, 22mp2 9 . . 3  |-  QQ  C.  RR
24 ax-resscn 9561 . . . 4  |-  RR  C_  CC
25 ax-icn 9563 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
26 inelr 10538 . . . . 5  |-  -.  _i  e.  RR
2725, 26pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )
28 ssnelpss 3895 . . . 4  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
_i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )  ->  RR  C.  CC ) )
2924, 27, 28mp2 9 . . 3  |-  RR  C.  CC
3023, 29pm3.2i 455 . 2  |-  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC )
3116, 30pm3.2i 455 1  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3481    C. wpss 3482   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   QQcq 11194   sqrcsqrt 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator