Theorem nsuceq0 3749

Description: No successor is empty.

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0	|- suc A =/= (/)

Proof of Theorem nsuceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2879	. . . 4 |- -. A e. (/)
2		eleq2 1958	. . . . 5 |- (suc A = (/) -> (A e. suc A <-> A e. (/)))
3		sucidg 3743	. . . . 5 |- (A e. _V -> A e. suc A)
4	2, 3	syl5cbi 226	. . . 4 |- (A e. _V -> (suc A = (/) -> A e. (/)))
5	1, 4	mtoi 122	. . 3 |- (A e. _V -> -. suc A = (/))
6		sucprc 3740	. . . . . . 7 |- (-. A e. _V -> suc A = A)
7	6	eqeq1d 1892	. . . . . 6 |- (-. A e. _V -> (suc A = (/) <-> A = (/)))
8		0ex 3446	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
9		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (A = (/) -> (A e. _V <-> (/) e. _V))
10	8, 9	mpbiri 211	. . . . . 6 |- (A = (/) -> A e. _V)
11	7, 10	syl6bi 231	. . . . 5 |- (-. A e. _V -> (suc A = (/) -> A e. _V))
12	11	con3d 111	. . . 4 |- (-. A e. _V -> (-. A e. _V -> -. suc A = (/)))
13	12	pm2.43i 78	. . 3 |- (-. A e. _V -> -. suc A = (/))
14	5, 13	pm2.61i 140	. 2 |- -. suc A = (/)
15		df-ne 2019	. 2 |- (suc A =/= (/) <-> -. suc A = (/))
16	14, 15	mpbir 207	1 |- suc A =/= (/)

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  0elsuc 3916  peano3 3973  tz7.44-2 5137  oelim2 5270  limenpsi 5599  cfsuc 6063  indexfi 10174  2on0 13862  nosgnn0 13999  axsltsolem1 14006  top2usne 14898  findcard2 15745  indexfiOLD 15755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-nul 3445

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-nul 2876  df-sn 3049  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain