Theorem nsn 14874

Description: The neighborhoods of the singletons are neighborhoods.

Hypothesis

Ref	Expression
nsn.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
nsn	|- (J e. Top -> U_x e. X ((nei` J)` {x}) C_ U.ran (nei` J))

Distinct variable group:   x,J

Proof of Theorem nsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3259	. . . . 5 |- (y e. U_x e. X ((nei` J)` {x}) <-> E.x e. X y e. ((nei` J)` {x}))
2		nsn.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = U.J
3	2	neif 8991	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (nei` J) Fn ~PX)
4		fndm 4512	. . . . . . . . . . 11 |- ((nei` J) Fn ~PX -> dom (nei` J) = ~PX)
5		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . 13 |- (~PX = dom (nei` J) -> ({x} e. ~PX <-> {x} e. dom (nei` J)))
6	5	biimpd 170	. . . . . . . . . . . 12 |- (~PX = dom (nei` J) -> ({x} e. ~PX -> {x} e. dom (nei` J)))
7	6	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . 11 |- (dom (nei` J) = ~PX -> ({x} e. ~PX -> {x} e. dom (nei` J)))
8	4, 7	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((nei` J) Fn ~PX -> ({x} e. ~PX -> {x} e. dom (nei` J)))
9	3, 8	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> ({x} e. ~PX -> {x} e. dom (nei` J)))
10		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
11	10	snelpw 3501	. . . . . . . . 9 |- (x e. X <-> {x} e. ~PX)
12	9, 11	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (x e. X -> {x} e. dom (nei` J)))
13		fveq2 4681	. . . . . . . . . . 11 |- (z = {x} -> ((nei` J)` z) = ((nei` J)` {x}))
14	13	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (z = {x} -> (y e. ((nei` J)` z) <-> y e. ((nei` J)` {x})))
15	14	rcla4ev 2381	. . . . . . . . 9 |- (({x} e. dom (nei` J) /\ y e. ((nei` J)` {x})) -> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z))
16	15	ex 402	. . . . . . . 8 |- ({x} e. dom (nei` J) -> (y e. ((nei` J)` {x}) -> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z)))
17	12, 16	syl6 25	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (x e. X -> (y e. ((nei` J)` {x}) -> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z))))
18	17	com3l 38	. . . . . 6 |- (x e. X -> (y e. ((nei` J)` {x}) -> (J e. Top -> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z))))
19	18	r19.23aiv 2211	. . . . 5 |- (E.x e. X y e. ((nei` J)` {x}) -> (J e. Top -> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z)))
20	1, 19	sylbi 216	. . . 4 |- (y e. U_x e. X ((nei` J)` {x}) -> (J e. Top -> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z)))
21	20	com12 14	. . 3 |- (J e. Top -> (y e. U_x e. X ((nei` J)` {x}) -> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z)))
22		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.J = U.J
23	22	neif 8991	. . . . 5 |- (J e. Top -> (nei` J) Fn ~PU.J)
24		fnfun 4510	. . . . 5 |- ((nei` J) Fn ~PU.J -> Fun (nei` J))
25	23, 24	syl 12	. . . 4 |- (J e. Top -> Fun (nei` J))
26		elunirn 4844	. . . 4 |- (Fun (nei` J) -> (y e. U.ran (nei` J) <-> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z)))
27	25, 26	syl 12	. . 3 |- (J e. Top -> (y e. U.ran (nei` J) <-> E.z e. dom (nei` J)y e. ((nei` J)` z)))
28	21, 27	sylibrd 221	. 2 |- (J e. Top -> (y e. U_x e. X ((nei` J)` {x}) -> y e. U.ran (nei` J)))
29	28	ssrdv 2622	1 |- (J e. Top -> U_x e. X ((nei` J)` {x}) C_ U.ran (nei` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  U.cuni 3177  U_ciun 3255  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain