Theorem nsmallpq 6235

Description: The is no smallest positive fraction.

Assertion

Ref	Expression
nsmallpq	|- (A e. Q. -> E.x x <Q A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nsmallpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpq 6234	. 2 |- (A e. Q. -> E.x(x +Q x) = A)
2		eleq1 1957	. . . . . 6 |- ((x +Q x) = A -> ((x +Q x) e. Q. <-> A e. Q.))
3		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
4		dmaddpq 6211	. . . . . . 7 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
5		0npq 6202	. . . . . . 7 |- -. (/) e. Q.
6	3, 4, 5	ndmoprrcl 4979	. . . . . 6 |- ((x +Q x) e. Q. -> (x e. Q. /\ x e. Q.))
7	2, 6	syl6bir 232	. . . . 5 |- ((x +Q x) = A -> (A e. Q. -> (x e. Q. /\ x e. Q.)))
8	7	com12 14	. . . 4 |- (A e. Q. -> ((x +Q x) = A -> (x e. Q. /\ x e. Q.)))
9		breq2 3342	. . . . 5 |- ((x +Q x) = A -> (x <Q (x +Q x) <-> x <Q A))
10	3, 3	ltaddpq 6231	. . . . 5 |- ((x e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q (x +Q x))
11	9, 10	syl5bi 225	. . . 4 |- ((x +Q x) = A -> ((x e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q A))
12	8, 11	sylcom 62	. . 3 |- (A e. Q. -> ((x +Q x) = A -> x <Q A))
13	12	eximdv 1669	. 2 |- (A e. Q. -> (E.x(x +Q x) = A -> E.x x <Q A))
14	1, 13	mpd 29	1 |- (A e. Q. -> E.x x <Q A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131   +Q cplq 6133   <Q cltq 6136

This theorem is referenced by:  reclem1pr 6308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-ltq 6194  df-1q 6195

Copyright terms: Public domain