Theorem nsgsubg 16028

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2467	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 16025	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. S <-> ( y ( +g ` G ) x ) e. S ) ) )
4	3	simplbi 460	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1767   A.wral 2814   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  SubGrpcsubg 15990  NrmSGrpcnsg 15991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-subg 15993  df-nsg 15994

This theorem is referenced by:  nsgconj  16029  isnsg3  16030  eqgcpbl  16050  divsgrp  16051  divseccl  16052  divsadd  16053  divs0  16054  divsinv  16055  divssub  16056  ghmnsgima  16085  ghmnsgpreima  16086  conjnsg  16097  divsghm  16098  sylow3lem4  16446  clsnsg  20343  divstgpopn  20353  divstgphaus  20356