MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nsgid 16911
Description: The whole group is a normal subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgid.z  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
nsgid  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (NrmSGrp `  G )
)

Proof of Theorem nsgid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgid.z . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgid 16867 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
3 simp1 1014 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
4 eqid 2461 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
51, 4grpcl 16727 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
6 simp2 1015 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )
7 eqid 2461 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
81, 7grpsubcl 16782 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )
93, 5, 6, 8syl3anc 1276 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  B )
1093expb 1216 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )
1110ralrimivva 2820 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  B
)
121, 4, 7isnsg3 16899 . 2  |-  ( B  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  B ) )
132, 11, 12sylanbrc 675 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (NrmSGrp `  G )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   +g cplusg 15238   Grpcgrp 16717   -gcsg 16719  SubGrpcsubg 16859  NrmSGrpcnsg 16860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-ress 15176  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-subg 16862  df-nsg 16863
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator