MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Unicode version

Theorem nsgacs 16354
Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
nsgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables  s  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 16319 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  s  C_  B )
3 selpw 3934 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
42, 3sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  s  e.  ~P B )
5 eleq2 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  s  ->  (
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
65raleqbi1dv 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  s  ->  ( A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z  <->  A. y  e.  s  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
76ralbidv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  s  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
87elrab3 3183 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  s  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
94, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( s  e.  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z }  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  s 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  s ) )
109bicomd 201 . . . . 5  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  s  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  s  <->  s  e.  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } ) )
1110pm5.32i 635 . . . 4  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  s  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  s )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } ) )
12 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
141, 12, 13isnsg3 16352 . . . 4  |-  ( s  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  s 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  s ) )
15 elin 3601 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubGrp `  G )  i^i  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z } ) )
1611, 14, 153bitr4i 277 . . 3  |-  ( s  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  s  e.  ( (SubGrp `  G )  i^i  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z } ) )
1716eqriv 2378 . 2  |-  (NrmSGrp `  G
)  =  ( (SubGrp `  G )  i^i  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } )
18 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
191, 18eqeltri 2466 . . . 4  |-  B  e. 
_V
20 mreacs 15065 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2119, 20mp1i 12 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
221subgacs 16353 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
23 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
241, 12grpcl 16180 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
25243expb 1195 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )
26 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
271, 13grpsubcl 16235 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )
2823, 25, 26, 27syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )
2928ralrimivva 2803 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  B
)
30 acsfn1c 15069 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )  ->  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  e.  (ACS `  B ) )
3119, 29, 30sylancr 661 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  e.  (ACS `  B ) )
32 mreincl 15006 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  e.  (ACS `  B ) )  ->  ( (SubGrp `  G )  i^i  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } )  e.  (ACS `  B
) )
3321, 22, 31, 32syl3anc 1226 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubGrp `  G )  i^i  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z } )  e.  (ACS
`  B ) )
3417, 33syl5eqel 2474 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034    i^i cin 3388    C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702  Moorecmre 14989  ACScacs 14992   Grpcgrp 16170   -gcsg 16172  SubGrpcsubg 16312  NrmSGrpcnsg 16313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-nsg 16316
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator