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Theorem nrmsep 19944
Description: In a normal space, disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
nrmsep  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    x, J, y

Proof of Theorem nrmsep
StepHypRef Expression
1 nrmtop 19923 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
21ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
3 elssuni 4192 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
43ad2antrl 725 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  U. J
)
5 eqid 2382 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
65clscld 19633 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
72, 4, 6syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
85cldopn 19617 . . . 4  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) )  e.  J
)
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J )
10 simprrl 763 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  C  C_  x
)
11 incom 3605 . . . . 5  |-  ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )
12 simprrr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i 
D )  =  (/) )
1311, 12syl5eq 2435 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( D  i^i  ( ( cls `  J
) `  x )
)  =  (/) )
14 simplr2 1037 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  e.  (
Clsd `  J )
)
155cldss 19615 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  U. J
)
16 reldisj 3786 . . . . 5  |-  ( D 
C_  U. J  ->  (
( D  i^i  (
( cls `  J
) `  x )
)  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) ) )
1714, 15, 163syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
1813, 17mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )
195sscls 19642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
202, 4, 19syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
21 ssrin 3637 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( ( cls `  J ) `  x
)  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
23 disjdif 3816 . . . 4  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/)
24 sseq0 3744 . . . 4  |-  ( ( ( x  i^i  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  /\  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
2522, 23, 24sylancl 660 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
26 sseq2 3439 . . . . 5  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( D  C_  y  <->  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
27 ineq2 3608 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
2827eqeq1d 2384 . . . . 5  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( (
x  i^i  y )  =  (/)  <->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )
2926, 283anbi23d 1300 . . . 4  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) ) )
3029rspcev 3135 . . 3  |-  ( ( ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
319, 10, 18, 25, 30syl13anc 1228 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
32 nrmsep2 19943 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )  =  (/) ) )
3331, 32reximddv 2858 1  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   E.wrex 2733    \ cdif 3386    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U.cuni 4163   ` cfv 5496   Topctop 19479   Clsdccld 19602   clsccl 19604   Nrmcnrm 19897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-top 19484  df-cld 19605  df-cls 19607  df-nrm 19904
This theorem is referenced by:  isnrm3  19946
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