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Theorem nrmsep 19619
Description: In a normal space, disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
nrmsep  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    x, J, y

Proof of Theorem nrmsep
StepHypRef Expression
1 nrmsep2 19618 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )  =  (/) ) )
2 nrmtop 19598 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
32ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
4 elssuni 4270 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
54ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  U. J
)
6 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
76clscld 19309 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
83, 5, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
96cldopn 19293 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) )  e.  J
)
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J )
11 simprrl 763 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  C  C_  x
)
12 incom 3686 . . . . . . 7  |-  ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )
13 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i 
D )  =  (/) )
1412, 13syl5eq 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( D  i^i  ( ( cls `  J
) `  x )
)  =  (/) )
15 simplr2 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  e.  (
Clsd `  J )
)
166cldss 19291 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  U. J
)
17 reldisj 3865 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  U. J  ->  (
( D  i^i  (
( cls `  J
) `  x )
)  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) ) )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
1914, 18mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )
206sscls 19318 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
213, 5, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
22 ssrin 3718 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( ( cls `  J ) `  x
)  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
24 disjdif 3894 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/)
25 sseq0 3812 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  /\  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
2623, 24, 25sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
27 sseq2 3521 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( D  C_  y  <->  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
28 ineq2 3689 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
2928eqeq1d 2464 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( (
x  i^i  y )  =  (/)  <->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )
3027, 293anbi23d 1297 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) ) )
3130rspcev 3209 . . . . 5  |-  ( ( ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
3210, 11, 19, 26, 31syl13anc 1225 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
3332expr 615 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  x  e.  J )  ->  ( ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i 
D )  =  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
3433reximdva 2933 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
351, 34mpd 15 1  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2810    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   U.cuni 4240   ` cfv 5581   Topctop 19156   Clsdccld 19278   clsccl 19280   Nrmcnrm 19572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-top 19161  df-cld 19281  df-cls 19283  df-nrm 19579
This theorem is referenced by:  isnrm3  19621
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