Theorem nrmr0reg 20542

Description: A normal R₀ space is also regular. These spaces are usually referred to as normal regular spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmr0reg	|- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Reg )

Proof of Theorem nrmr0reg

Dummy variables x y a b w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmtop 20130	. . 3 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
2	1	adantr 463	. 2 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Top )
3		simpll 752	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Nrm )
4		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> x e. J )
5	2	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Top )
6		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
7	6	toptopon 19726	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	5, 7	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre )
10		simprr 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. x )
11		elunii 4196	. . . . . . 7 |- ( ( y e. x /\ x e. J ) -> y e. U. J )
12	10, 4, 11	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. U. J )
13		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( z e. U. J |-> { w e. J | z e. w } ) = ( z e. U. J |-> { w e. J | z e. w } )
14	13	r0cld 20531	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ (KQ ` J ) e. Fre /\ y e. U. J ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) )
15	8, 9, 12, 14	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) )
16		simp1rr 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> y e. x )
17	4	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J ) -> x e. J )
18		elequ2 1847	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( a e. b <-> a e. x ) )
19		elequ2 1847	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( y e. b <-> y e. x ) )
20	18, 19	bibi12d 319	. . . . . . . . . 10 |- ( b = x -> ( ( a e. b <-> y e. b ) <-> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
21	20	rspcv 3156	. . . . . . . . 9 |- ( x e. J -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) -> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J ) -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) -> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
23	22	3impia 1194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> ( a e. x <-> y e. x ) )
24	16, 23	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> a e. x )
25	24	rabssdv 3519	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ x )
26		nrmsep3 20149	. . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ ( x e. J /\ { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) /\ { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ x ) ) -> E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
27	3, 4, 15, 25, 26	syl13anc 1232	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
28		biidd 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( y e. b <-> y e. b ) )
29	28	ralrimivw 2819	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) )
30		elequ1 1845	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( a e. b <-> y e. b ) )
31	30	bibi1d 317	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ( a e. b <-> y e. b ) <-> ( y e. b <-> y e. b ) ) )
32	31	ralbidv 2843	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) <-> A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) ) )
33	32	elrab 3207	. . . . . . . 8 |- ( y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } <-> ( y e. U. J /\ A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) ) )
34	12, 29, 33	sylanbrc 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } )
35		ssel 3436	. . . . . . 7 |- ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z -> ( y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } -> y e. z ) )
36	34, 35	syl5com 28	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z -> y e. z ) )
37	36	anim1d 562	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) -> ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
38	37	reximdv 2878	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) -> E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
39	27, 38	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
40	39	ralrimivva 2825	. 2 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> A. x e. J A. y e. x E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
41		isreg 20126	. 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
42	2, 40, 41	sylanbrc 662	1 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Reg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   C_ wss 3414   U.cuni 4191   |-> cmpt 4453   ` cfv 5569   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   Clsdccld 19809   clsccl 19811   Frect1 20101   Regcreg 20103   Nrmcnrm 20104  KQckq 20486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-qtop 15121  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-cn 20021  df-t1 20108  df-reg 20110  df-nrm 20111  df-kq 20487

This theorem is referenced by:  nrmreg  20617