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Theorem nrmr0reg 20542
Description: A normal R0 space is also regular. These spaces are usually referred to as normal regular spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmr0reg  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  J  e.  Reg )

Proof of Theorem nrmr0reg
Dummy variables  x  y  a  b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 20130 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  J  e.  Top )
3 simpll 752 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Nrm )
4 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  J )
52adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Top )
6 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
76toptopon 19726 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
85, 7sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
9 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Fre )
10 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
11 elunii 4196 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  J )  ->  y  e.  U. J
)
1210, 4, 11syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  U. J )
13 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. J  |->  { w  e.  J  | 
z  e.  w }
)  =  ( z  e.  U. J  |->  { w  e.  J  | 
z  e.  w }
)
1413r0cld 20531 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre  /\  y  e.  U. J
)  ->  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  e.  ( Clsd `  J )
)
158, 9, 12, 14syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  e.  ( Clsd `  J ) )
16 simp1rr 1063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )  -> 
y  e.  x )
174adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J )  ->  x  e.  J )
18 elequ2 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
a  e.  b  <->  a  e.  x ) )
19 elequ2 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
y  e.  b  <->  y  e.  x ) )
2018, 19bibi12d 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  <-> 
( a  e.  x  <->  y  e.  x ) ) )
2120rspcv 3156 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  J  ->  ( A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  ->  ( a  e.  x  <->  y  e.  x
) ) )
2217, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J )  -> 
( A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b )  ->  ( a  e.  x  <->  y  e.  x
) ) )
23223impia 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )  -> 
( a  e.  x  <->  y  e.  x ) )
2416, 23mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )  -> 
a  e.  x )
2524rabssdv 3519 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  x )
26 nrmsep3 20149 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( x  e.  J  /\  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  e.  (
Clsd `  J )  /\  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  x
) )  ->  E. z  e.  J  ( {
a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
273, 4, 15, 25, 26syl13anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  J  ( {
a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
28 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  b  <->  y  e.  b ) )
2928ralrimivw 2819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  A. b  e.  J  ( y  e.  b  <->  y  e.  b ) )
30 elequ1 1845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  y  ->  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )
3130bibi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  <-> 
( y  e.  b  <-> 
y  e.  b ) ) )
3231ralbidv 2843 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  ( A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  <->  A. b  e.  J  ( y  e.  b  <-> 
y  e.  b ) ) )
3332elrab 3207 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { a  e. 
U. J  |  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  <->  ( y  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
y  e.  b  <->  y  e.  b ) ) )
3412, 29, 33sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) } )
35 ssel 3436 . . . . . . 7  |-  ( { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  z  ->  ( y  e.  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  ->  y  e.  z ) )
3634, 35syl5com 28 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  z  ->  y  e.  z ) )
3736anim1d 562 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( { a  e. 
U. J  |  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  x )  ->  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  x )
) )
3837reximdv 2878 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. z  e.  J  ( { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  x )  ->  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) ) )
3927, 38mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
4039ralrimivva 2825 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
41 isreg 20126 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) ) )
422, 40, 41sylanbrc 662 1  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758    C_ wss 3414   U.cuni 4191    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   Clsdccld 19809   clsccl 19811   Frect1 20101   Regcreg 20103   Nrmcnrm 20104  KQckq 20486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-qtop 15121  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-cn 20021  df-t1 20108  df-reg 20110  df-nrm 20111  df-kq 20487
This theorem is referenced by:  nrmreg  20617
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