Theorem nrmr0reg 19163

Description: A normal R₀ space is also regular. These spaces are usually referred to as normal regular spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmr0reg	|- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Reg )

Proof of Theorem nrmr0reg

Dummy variables x y a b w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmtop 18781	. . 3 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
2	1	adantr 462	. 2 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Top )
3		simpll 746	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Nrm )
4		simprl 748	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> x e. J )
5	2	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Top )
6		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
7	6	toptopon 18379	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	5, 7	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		simplr 747	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre )
10		simprr 749	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. x )
11		elunii 4084	. . . . . . 7 |- ( ( y e. x /\ x e. J ) -> y e. U. J )
12	10, 4, 11	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. U. J )
13		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( z e. U. J |-> { w e. J | z e. w } ) = ( z e. U. J |-> { w e. J | z e. w } )
14	13	r0cld 19152	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ (KQ ` J ) e. Fre /\ y e. U. J ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) )
15	8, 9, 12, 14	syl3anc 1211	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) )
16		simp1rr 1047	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> y e. x )
17	4	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J ) -> x e. J )
18		elequ2 1760	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( a e. b <-> a e. x ) )
19		elequ2 1760	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( y e. b <-> y e. x ) )
20	18, 19	bibi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( b = x -> ( ( a e. b <-> y e. b ) <-> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
21	20	rspcv 3058	. . . . . . . . 9 |- ( x e. J -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) -> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
22	17, 21	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J ) -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) -> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
23	22	3impia 1177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> ( a e. x <-> y e. x ) )
24	16, 23	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> a e. x )
25	24	rabssdv 3420	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ x )
26		nrmsep3 18800	. . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ ( x e. J /\ { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) /\ { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ x ) ) -> E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
27	3, 4, 15, 25, 26	syl13anc 1213	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
28		biidd 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( y e. b <-> y e. b ) )
29	28	ralrimivw 2790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) )
30		elequ1 1758	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( a e. b <-> y e. b ) )
31	30	bibi1d 319	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ( a e. b <-> y e. b ) <-> ( y e. b <-> y e. b ) ) )
32	31	ralbidv 2725	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) <-> A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) ) )
33	32	elrab 3106	. . . . . . . 8 |- ( y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } <-> ( y e. U. J /\ A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) ) )
34	12, 29, 33	sylanbrc 657	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } )
35		ssel 3338	. . . . . . 7 |- ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z -> ( y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } -> y e. z ) )
36	34, 35	syl5com 30	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z -> y e. z ) )
37	36	anim1d 559	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) -> ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
38	37	reximdv 2817	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) -> E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
39	27, 38	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
40	39	ralrimivva 2798	. 2 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> A. x e. J A. y e. x E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
41		isreg 18777	. 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
42	2, 40, 41	sylanbrc 657	1 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Reg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   C_ wss 3316   U.cuni 4079   e. cmpt 4338   ` cfv 5406   Topctop 18339  TopOnctopon 18340   Clsdccld 18461   clsccl 18463   Frect1 18752   Regcreg 18754   Nrmcnrm 18755  KQckq 19107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-map 7204  df-qtop 14427  df-top 18344  df-topon 18347  df-cld 18464  df-cn 18672  df-t1 18759  df-reg 18761  df-nrm 18762  df-kq 19108

This theorem is referenced by:  nrmreg  19238