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Theorem nrmhmph 20886
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20868 . 2 |- ( J ~= K <-> ( J Homeo K ) =/= (/) )
2 n0 3732 . . 3 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) <-> E. f f e. ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20852 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f e. ( J Cn K ) )
43adantl 473 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
5 cntop2 20334 . . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
64, 5syl 17 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Top )
7 simpll 768 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> J e. Nrm )
84adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
9 simprl 772 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> x e. K )
10 cnima 20358 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ x e. K ) -> ( `' f " x ) e. J )
118, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " x ) e. J )
12 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ( Clsd ` K )
13 simprr 774 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) )
1412, 13sseldi 3416 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
15 cnclima 20361 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ y e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
168, 14, 15syl2anc 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
17 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ~P x
1817, 13sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ~P x )
1918elpwid 3952 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y C_ x )
20 imass2 5210 . . . . . . . . . 10 |- ( y C_ x -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
22 nrmsep3 20448 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Nrm /\ ( ( `' f " x ) e. J /\ ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1294 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
24 simpllr 777 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f e. ( J Homeo K ) )
25 simprl 772 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w e. J )
26 hmeoima 20857 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w e. J ) -> ( f " w ) e. K )
2724, 25, 26syl2anc 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " w ) e. K )
28 simprrl 782 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ w )
29 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
30 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. K = U. K
3129, 30hmeof1o 20856 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> Fun f )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> Fun f )
3514adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
3630cldss 20121 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( Clsd ` K ) -> y C_ U. K )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ U. K )
38 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 5809 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -onto-> U. K -> ran f = U. K )
4032, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ran f = U. K )
4137, 40sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ran f )
42 funimass1 5666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun f /\ y C_ ran f ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ( f " w ) )
45 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
4645ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w C_ U. J )
4729hmeocls 20860 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
4824, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
49 simprrr 783 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) )
50 nrmtop 20429 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
5150ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> J e. Top )
5229clsss3 20151 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
5351, 46, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
54 f1odm 5832 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> dom f = U. J )
5532, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> dom f = U. J )
5653, 55sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f )
57 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun f /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5834, 56, 57syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5949, 58mpbird 240 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x )
6048, 59eqsstrd 3452 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x )
61 sseq2 3440 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( y C_ z <-> y C_ ( f " w ) ) )
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( cls ` K ) ` z ) = ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) )
6362sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x <-> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) )
6461, 63anbi12d 725 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) <-> ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) )
6564rspcev 3136 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f " w ) e. K /\ ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1290 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6723, 66rexlimddv 2875 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6867ralrimivva 2814 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
69 isnrm 20428 . . . . . 6 |- ( K e. Nrm <-> ( K e. Top /\ A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) ) )
706, 68, 69sylanbrc 677 . . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Nrm )
7170expcom 442 . . . 4 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
7271exlimiv 1784 . . 3 |- ( E. f f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
732, 72sylbi 200 . 2 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
741, 73sylbi 200 1 |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994   Clsdccld 20108   clsccl 20110   Cn ccn 20317   Nrmcnrm 20403   Homeochmeo 20845   ~= chmph 20846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-1o 7200  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-cn 20320  df-nrm 20410  df-hmeo 20847  df-hmph 20848
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