MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmhmph Structured version   Unicode version

Theorem nrmhmph 19389
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )

Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 19371 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J Homeo K )  =/=  (/) )
2 n0 3667 . . 3  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 19355 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 18867 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
84adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 18891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " x )  e.  J )
12 inss1 3591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ( Clsd `  K )
13 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) )
1412, 13sseldi 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K )
)
15 cnclima 18894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' f "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
168, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
) )
17 inss2 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ~P x
1817, 13sseldi 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ~P x )
1918elpwid 3891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  C_  x )
20 imass2 5225 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  x  ->  ( `' f " y
)  C_  ( `' f " x ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) )
22 nrmsep3 18981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( ( `' f
" x )  e.  J  /\  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f " y
)  C_  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
24 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
25 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  e.  J )
26 hmeoima 19360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " w )  e.  K )
28 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ( `' f " y
)  C_  w )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
30 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
3129, 30hmeof1o 19359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 5664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  Fun  f )
3514adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K
) )
3630cldss 18655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( Clsd `  K
)  ->  y  C_  U. K )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
U. K )
38 f1ofo 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 5644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -onto-> U. K  ->  ran  f  =  U. K )
4032, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ran  f  =  U. K )
4137, 40sseqtr4d 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
ran  f )
42 funimass1 5512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  f  /\  y  C_ 
ran  f )  -> 
( ( `' f
" y )  C_  w  ->  y  C_  (
f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( `' f "
y )  C_  w  ->  y  C_  ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_  ( f " w
) )
45 elssuni 4142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  C_ 
U. J )
4729hmeocls 19363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4824, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
49 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) )
50 nrmtop 18962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5229clsss3 18685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5351, 46, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
U. J )
54 f1odm 5666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5532, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5653, 55sseqtr4d 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )
57 funimass3 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5834, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( f " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5949, 58mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) 
C_  x )
6048, 59eqsstrd 3411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x )
61 sseq2 3399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  ( f " w
) ) )
62 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6362sseq1d 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6461, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x )  <->  ( y  C_  ( f " w
)  /\  ( ( cls `  K ) `  ( f " w
) )  C_  x
) ) )
6564rspcev 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  C_  (
f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6723, 66rexlimddv 2866 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6867ralrimivva 2829 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
69 isnrm 18961 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Nrm  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
) )
706, 68, 69sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Nrm )
7170expcom 435 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
7271exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J Homeo K )  -> 
( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm )
)
732, 72sylbi 195 . 2  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/)  ->  ( J  e. 
Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
741, 73sylbi 195 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   "cima 4864   Fun wfun 5433   -onto->wfo 5437   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Topctop 18520   Clsdccld 18642   clsccl 18644    Cn ccn 18850   Nrmcnrm 18936   Homeochmeo 19348    ~= chmph 19349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-1o 6941  df-map 7237  df-top 18525  df-topon 18528  df-cld 18645  df-cls 18647  df-cn 18853  df-nrm 18943  df-hmeo 19350  df-hmph 19351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator