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Theorem nrmhmph 20161
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20143 . 2 |- ( J ~= K <-> ( J Homeo K ) =/= (/) )
2 n0 3799 . . 3 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) <-> E. f f e. ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20127 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f e. ( J Cn K ) )
43adantl 466 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
5 cntop2 19608 . . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
64, 5syl 16 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Top )
7 simpll 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> J e. Nrm )
84adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
9 simprl 755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> x e. K )
10 cnima 19632 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ x e. K ) -> ( `' f " x ) e. J )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " x ) e. J )
12 inss1 3723 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ( Clsd ` K )
13 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) )
1412, 13sseldi 3507 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
15 cnclima 19635 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ y e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
168, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
17 inss2 3724 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ~P x
1817, 13sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ~P x )
1918elpwid 4026 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y C_ x )
20 imass2 5378 . . . . . . . . . 10 |- ( y C_ x -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
22 nrmsep3 19722 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Nrm /\ ( ( `' f " x ) e. J /\ ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1230 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
24 simpllr 758 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f e. ( J Homeo K ) )
25 simprl 755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w e. J )
26 hmeoima 20132 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w e. J ) -> ( f " w ) e. K )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " w ) e. K )
28 simprrl 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ w )
29 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. K = U. K
3129, 30hmeof1o 20131 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 5824 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> Fun f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> Fun f )
3514adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
3630cldss 19396 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( Clsd ` K ) -> y C_ U. K )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ U. K )
38 f1ofo 5829 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 5804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -onto-> U. K -> ran f = U. K )
4032, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ran f = U. K )
4137, 40sseqtr4d 3546 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ran f )
42 funimass1 5667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun f /\ y C_ ran f ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ( f " w ) )
45 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w C_ U. J )
4729hmeocls 20135 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
4824, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
49 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) )
50 nrmtop 19703 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> J e. Top )
5229clsss3 19426 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
5351, 46, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
54 f1odm 5826 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> dom f = U. J )
5532, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> dom f = U. J )
5653, 55sseqtr4d 3546 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f )
57 funimass3 6004 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun f /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5834, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5949, 58mpbird 232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x )
6048, 59eqsstrd 3543 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x )
61 sseq2 3531 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( y C_ z <-> y C_ ( f " w ) ) )
62 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( cls ` K ) ` z ) = ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) )
6362sseq1d 3536 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x <-> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) )
6461, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) <-> ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) )
6564rspcev 3219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f " w ) e. K /\ ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1226 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6723, 66rexlimddv 2963 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6867ralrimivva 2888 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
69 isnrm 19702 . . . . . 6 |- ( K e. Nrm <-> ( K e. Top /\ A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) ) )
706, 68, 69sylanbrc 664 . . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Nrm )
7170expcom 435 . . . 4 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
7271exlimiv 1698 . . 3 |- ( E. f f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
732, 72sylbi 195 . 2 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
741, 73sylbi 195 1 |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   "cima 5008   Fun wfun 5588   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Topctop 19261   Clsdccld 19383   clsccl 19385   Cn ccn 19591   Nrmcnrm 19677   Homeochmeo 20120   ~= chmph 20121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-1o 7142  df-map 7434  df-top 19266  df-topon 19269  df-cld 19386  df-cls 19388  df-cn 19594  df-nrm 19684  df-hmeo 20122  df-hmph 20123
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