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Theorem nrmhmph 20420
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )

Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20402 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J Homeo K )  =/=  (/) )
2 n0 3803 . . 3  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20386 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 19868 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
84adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 19892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " x )  e.  J )
12 inss1 3714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ( Clsd `  K )
13 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) )
1412, 13sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K )
)
15 cnclima 19895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' f "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
168, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
) )
17 inss2 3715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ~P x
1817, 13sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ~P x )
1918elpwid 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  C_  x )
20 imass2 5382 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  x  ->  ( `' f " y
)  C_  ( `' f " x ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) )
22 nrmsep3 19982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( ( `' f
" x )  e.  J  /\  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f " y
)  C_  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
24 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
25 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  e.  J )
26 hmeoima 20391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " w )  e.  K )
28 simprrl 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ( `' f " y
)  C_  w )
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
30 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
3129, 30hmeof1o 20390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 5824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  Fun  f )
3514adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K
) )
3630cldss 19656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( Clsd `  K
)  ->  y  C_  U. K )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
U. K )
38 f1ofo 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 5804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -onto-> U. K  ->  ran  f  =  U. K )
4032, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ran  f  =  U. K )
4137, 40sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
ran  f )
42 funimass1 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  f  /\  y  C_ 
ran  f )  -> 
( ( `' f
" y )  C_  w  ->  y  C_  (
f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( `' f "
y )  C_  w  ->  y  C_  ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_  ( f " w
) )
45 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  C_ 
U. J )
4729hmeocls 20394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4824, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
49 simprrr 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) )
50 nrmtop 19963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5229clsss3 19686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5351, 46, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
U. J )
54 f1odm 5826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5532, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5653, 55sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )
57 funimass3 6004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5834, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( f " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5949, 58mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) 
C_  x )
6048, 59eqsstrd 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x )
61 sseq2 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  ( f " w
) ) )
62 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6362sseq1d 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6461, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x )  <->  ( y  C_  ( f " w
)  /\  ( ( cls `  K ) `  ( f " w
) )  C_  x
) ) )
6564rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  C_  (
f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6723, 66rexlimddv 2953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6867ralrimivva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
69 isnrm 19962 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Nrm  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
) )
706, 68, 69sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Nrm )
7170expcom 435 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
7271exlimiv 1723 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J Homeo K )  -> 
( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm )
)
732, 72sylbi 195 . 2  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/)  ->  ( J  e. 
Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
741, 73sylbi 195 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Topctop 19520   Clsdccld 19643   clsccl 19645    Cn ccn 19851   Nrmcnrm 19937   Homeochmeo 20379    ~= chmph 20380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-1o 7148  df-map 7440  df-top 19525  df-topon 19528  df-cld 19646  df-cls 19648  df-cn 19854  df-nrm 19944  df-hmeo 20381  df-hmph 20382
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