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Theorem nrmhmph 20587
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )

Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20569 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J Homeo K )  =/=  (/) )
2 n0 3748 . . 3  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20553 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 20035 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
84adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 20059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " x )  e.  J )
12 inss1 3659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ( Clsd `  K )
13 simprr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) )
1412, 13sseldi 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K )
)
15 cnclima 20062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' f "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
168, 14, 15syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
) )
17 inss2 3660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ~P x
1817, 13sseldi 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ~P x )
1918elpwid 3965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  C_  x )
20 imass2 5192 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  x  ->  ( `' f " y
)  C_  ( `' f " x ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) )
22 nrmsep3 20149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( ( `' f
" x )  e.  J  /\  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f " y
)  C_  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
24 simpllr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f  e.  ( J Homeo K ) )
25 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  e.  J )
26 hmeoima 20558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2724, 25, 26syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " w )  e.  K )
28 simprrl 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ( `' f " y
)  C_  w )
29 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
30 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
3129, 30hmeof1o 20557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  Fun  f )
3514adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K
) )
3630cldss 19822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( Clsd `  K
)  ->  y  C_  U. K )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
U. K )
38 f1ofo 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 5781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -onto-> U. K  ->  ran  f  =  U. K )
4032, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ran  f  =  U. K )
4137, 40sseqtr4d 3479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
ran  f )
42 funimass1 5642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  f  /\  y  C_ 
ran  f )  -> 
( ( `' f
" y )  C_  w  ->  y  C_  (
f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( `' f "
y )  C_  w  ->  y  C_  ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_  ( f " w
) )
45 elssuni 4220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4645ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  C_ 
U. J )
4729hmeocls 20561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J
Homeo K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4824, 46, 47syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
49 simprrr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) )
50 nrmtop 20130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
5150ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5229clsss3 19852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5351, 46, 52syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
U. J )
54 f1odm 5803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5532, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5653, 55sseqtr4d 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )
57 funimass3 5981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5834, 56, 57syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( f " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5949, 58mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) 
C_  x )
6048, 59eqsstrd 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x )
61 sseq2 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  ( f " w
) ) )
62 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6362sseq1d 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6461, 63anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x )  <->  ( y  C_  ( f " w
)  /\  ( ( cls `  K ) `  ( f " w
) )  C_  x
) ) )
6564rspcev 3160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  C_  (
f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6723, 66rexlimddv 2900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J
Homeo K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6867ralrimivva 2825 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
69 isnrm 20129 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Nrm  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
) )
706, 68, 69sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J Homeo K ) )  ->  K  e.  Nrm )
7170expcom 433 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J Homeo K )  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
7271exlimiv 1743 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J Homeo K )  -> 
( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm )
)
732, 72sylbi 195 . 2  |-  ( ( J Homeo K )  =/=  (/)  ->  ( J  e. 
Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
741, 73sylbi 195 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   ran crn 4824   "cima 4826   Fun wfun 5563   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Topctop 19686   Clsdccld 19809   clsccl 19811    Cn ccn 20018   Nrmcnrm 20104   Homeochmeo 20546    ~= chmph 20547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7167  df-map 7459  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-cls 19814  df-cn 20021  df-nrm 20111  df-hmeo 20548  df-hmph 20549
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