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Theorem nrmhmph 19389
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 19371 . 2 |- ( J ~= K <-> ( J Homeo K ) =/= (/) )
2 n0 3667 . . 3 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) <-> E. f f e. ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 19355 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f e. ( J Cn K ) )
43adantl 466 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
5 cntop2 18867 . . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
64, 5syl 16 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Top )
7 simpll 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> J e. Nrm )
84adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
9 simprl 755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> x e. K )
10 cnima 18891 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ x e. K ) -> ( `' f " x ) e. J )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " x ) e. J )
12 inss1 3591 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ( Clsd ` K )
13 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) )
1412, 13sseldi 3375 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
15 cnclima 18894 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ y e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
168, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
17 inss2 3592 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ~P x
1817, 13sseldi 3375 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ~P x )
1918elpwid 3891 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y C_ x )
20 imass2 5225 . . . . . . . . . 10 |- ( y C_ x -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
22 nrmsep3 18981 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Nrm /\ ( ( `' f " x ) e. J /\ ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1220 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
24 simpllr 758 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f e. ( J Homeo K ) )
25 simprl 755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w e. J )
26 hmeoima 19360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w e. J ) -> ( f " w ) e. K )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " w ) e. K )
28 simprrl 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ w )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
30 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. K = U. K
3129, 30hmeof1o 19359 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 5664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> Fun f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> Fun f )
3514adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
3630cldss 18655 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( Clsd ` K ) -> y C_ U. K )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ U. K )
38 f1ofo 5669 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 5644 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -onto-> U. K -> ran f = U. K )
4032, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ran f = U. K )
4137, 40sseqtr4d 3414 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ran f )
42 funimass1 5512 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun f /\ y C_ ran f ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ( f " w ) )
45 elssuni 4142 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w C_ U. J )
4729hmeocls 19363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
4824, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
49 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) )
50 nrmtop 18962 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> J e. Top )
5229clsss3 18685 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
5351, 46, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
54 f1odm 5666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> dom f = U. J )
5532, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> dom f = U. J )
5653, 55sseqtr4d 3414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f )
57 funimass3 5840 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun f /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5834, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5949, 58mpbird 232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x )
6048, 59eqsstrd 3411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x )
61 sseq2 3399 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( y C_ z <-> y C_ ( f " w ) ) )
62 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( cls ` K ) ` z ) = ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) )
6362sseq1d 3404 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x <-> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) )
6461, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) <-> ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) )
6564rspcev 3094 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f " w ) e. K /\ ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1216 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6723, 66rexlimddv 2866 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6867ralrimivva 2829 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
69 isnrm 18961 . . . . . 6 |- ( K e. Nrm <-> ( K e. Top /\ A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) ) )
706, 68, 69sylanbrc 664 . . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Nrm )
7170expcom 435 . . . 4 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
7271exlimiv 1688 . . 3 |- ( E. f f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
732, 72sylbi 195 . 2 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
741, 73sylbi 195 1 |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   "cima 4864   Fun wfun 5433   -onto->wfo 5437   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Topctop 18520   Clsdccld 18642   clsccl 18644   Cn ccn 18850   Nrmcnrm 18936   Homeochmeo 19348   ~= chmph 19349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-1o 6941  df-map 7237  df-top 18525  df-topon 18528  df-cld 18645  df-cls 18647  df-cn 18853  df-nrm 18943  df-hmeo 19350  df-hmph 19351
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