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Theorem nrmhmph 20587
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 20569 . 2 |- ( J ~= K <-> ( J Homeo K ) =/= (/) )
2 n0 3748 . . 3 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) <-> E. f f e. ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 20553 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f e. ( J Cn K ) )
43adantl 464 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
5 cntop2 20035 . . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
64, 5syl 17 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Top )
7 simpll 752 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> J e. Nrm )
84adantr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
9 simprl 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> x e. K )
10 cnima 20059 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ x e. K ) -> ( `' f " x ) e. J )
118, 9, 10syl2anc 659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " x ) e. J )
12 inss1 3659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ( Clsd ` K )
13 simprr 758 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) )
1412, 13sseldi 3440 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
15 cnclima 20062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ y e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
168, 14, 15syl2anc 659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
17 inss2 3660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ~P x
1817, 13sseldi 3440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ~P x )
1918elpwid 3965 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y C_ x )
20 imass2 5192 . . . . . . . . . 10 |- ( y C_ x -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
22 nrmsep3 20149 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Nrm /\ ( ( `' f " x ) e. J /\ ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
24 simpllr 761 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f e. ( J Homeo K ) )
25 simprl 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w e. J )
26 hmeoima 20558 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w e. J ) -> ( f " w ) e. K )
2724, 25, 26syl2anc 659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " w ) e. K )
28 simprrl 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ w )
29 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
30 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. K = U. K
3129, 30hmeof1o 20557 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 5801 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> Fun f )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> Fun f )
3514adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
3630cldss 19822 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( Clsd ` K ) -> y C_ U. K )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ U. K )
38 f1ofo 5806 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 5781 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -onto-> U. K -> ran f = U. K )
4032, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ran f = U. K )
4137, 40sseqtr4d 3479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ran f )
42 funimass1 5642 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun f /\ y C_ ran f ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ( f " w ) )
45 elssuni 4220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
4645ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w C_ U. J )
4729hmeocls 20561 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
4824, 46, 47syl2anc 659 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
49 simprrr 767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) )
50 nrmtop 20130 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
5150ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> J e. Top )
5229clsss3 19852 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
5351, 46, 52syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
54 f1odm 5803 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> dom f = U. J )
5532, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> dom f = U. J )
5653, 55sseqtr4d 3479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f )
57 funimass3 5981 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun f /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5834, 56, 57syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5949, 58mpbird 232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x )
6048, 59eqsstrd 3476 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x )
61 sseq2 3464 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( y C_ z <-> y C_ ( f " w ) ) )
62 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( cls ` K ) ` z ) = ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) )
6362sseq1d 3469 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x <-> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) )
6461, 63anbi12d 709 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) <-> ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) )
6564rspcev 3160 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f " w ) e. K /\ ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6723, 66rexlimddv 2900 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6867ralrimivva 2825 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
69 isnrm 20129 . . . . . 6 |- ( K e. Nrm <-> ( K e. Top /\ A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) ) )
706, 68, 69sylanbrc 662 . . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Nrm )
7170expcom 433 . . . 4 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
7271exlimiv 1743 . . 3 |- ( E. f f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
732, 72sylbi 195 . 2 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
741, 73sylbi 195 1 |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   i^i cin 3413   C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   ran crn 4824   "cima 4826   Fun wfun 5563   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Topctop 19686   Clsdccld 19809   clsccl 19811   Cn ccn 20018   Nrmcnrm 20104   Homeochmeo 20546   ~= chmph 20547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7167  df-map 7459  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-cls 19814  df-cn 20021  df-nrm 20111  df-hmeo 20548  df-hmph 20549
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