MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmhaus Structured version   Unicode version

Theorem nrmhaus 20057
Description: A T1 normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T1 normal space is also known as a T4 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhaus  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Fre ) )

Proof of Theorem nrmhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 19614 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 nrmreg 20055 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  J  e.  Fre )  ->  J  e.  Reg )
32ex 434 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Reg ) )
4 t1t0 19610 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
5 reghaus 20056 . . . 4  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )
64, 5syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Haus ) )
73, 6sylcom 29 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Haus ) )
81, 7impbid2 204 1  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Fre ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1762   Kol2ct0 19568   Frect1 19569   Hauscha 19570   Regcreg 19571   Nrmcnrm 19572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-1o 7122  df-map 7414  df-topgen 14690  df-qtop 14753  df-top 19161  df-topon 19164  df-cld 19281  df-cls 19283  df-cn 19489  df-t0 19575  df-t1 19576  df-haus 19577  df-reg 19578  df-nrm 19579  df-kq 19925  df-hmeo 19986  df-hmph 19987
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator