MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmhaus Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nrmhaus 20853
Description: A T1 normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T1 normal space is also known as a T4 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhaus  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Fre ) )

Proof of Theorem nrmhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 20380 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 nrmreg 20851 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  J  e.  Fre )  ->  J  e.  Reg )
32ex 436 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Reg ) )
4 t1t0 20376 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
5 reghaus 20852 . . . 4  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )
64, 5syl5ibrcom 226 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Haus ) )
73, 6sylcom 30 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Haus ) )
81, 7impbid2 208 1  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Fre ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    e. wcel 1889   Kol2ct0 20334   Frect1 20335   Hauscha 20336   Regcreg 20337   Nrmcnrm 20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-1o 7187  df-map 7479  df-topgen 15354  df-qtop 15418  df-top 19933  df-topon 19935  df-cld 20046  df-cls 20048  df-cn 20255  df-t0 20341  df-t1 20342  df-haus 20343  df-reg 20344  df-nrm 20345  df-kq 20721  df-hmeo 20782  df-hmph 20783
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator