MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmhaus Structured version   Unicode version

Theorem nrmhaus 20453
Description: A T1 normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T1 normal space is also known as a T4 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhaus  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Fre ) )

Proof of Theorem nrmhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 19980 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 nrmreg 20451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  J  e.  Fre )  ->  J  e.  Reg )
32ex 434 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Reg ) )
4 t1t0 19976 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
5 reghaus 20452 . . . 4  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )
64, 5syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Haus ) )
73, 6sylcom 29 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Haus ) )
81, 7impbid2 204 1  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Fre ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1819   Kol2ct0 19934   Frect1 19935   Hauscha 19936   Regcreg 19937   Nrmcnrm 19938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-1o 7148  df-map 7440  df-topgen 14861  df-qtop 14924  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-cls 19649  df-cn 19855  df-t0 19941  df-t1 19942  df-haus 19943  df-reg 19944  df-nrm 19945  df-kq 20321  df-hmeo 20382  df-hmph 20383
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator