MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Structured version   Unicode version

Theorem nrgtrg 20372
Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 20355 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopGrp )
2 nrgrng 20346 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
3 eqid 2450 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
43rngmgp 16743 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
6 tgptps 19753 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TopGrp  ->  R  e.  TopSp )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopSp )
8 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
108, 9istps 18643 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
117, 10sylib 196 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( TopOpen `  R
)  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
) )
123, 8mgpbas 16688 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
133, 9mgptopn 16691 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (mulGrp `  R
) )
1412, 13istps 18643 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  TopSp  <->  ( TopOpen
`  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
1511, 14sylibr 212 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  TopSp )
16 rlmnlm 20371 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (ringLMod `  R )  e. NrmMod )
17 rlmsca2 17374 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
18 rlmscaf 17381 . . . . 5  |-  ( +f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( .sf `  (ringLMod `  R ) )
19 rlmtopn 17376 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (ringLMod `  R
) )
20 df-base 14267 . . . . . . . . 9  |-  Base  = Slot  1
2120, 8strfvi 14302 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (  _I  `  R ) )
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (  _I  `  R
) ) )
23 df-tset 14345 . . . . . . . . 9  |- TopSet  = Slot  9
24 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  R )
2523, 24strfvi 14302 . . . . . . . 8  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R
) )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R ) ) )
2722, 26topnpropd 14463 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( TopOpen `  R )  =  ( TopOpen `  (  _I  `  R ) ) )
2827trud 1379 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (  _I  `  R ) )
2917, 18, 19, 28nlmvscn 20370 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e. NrmMod  ->  ( +f `  (mulGrp `  R ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen
`  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R
) ) )
3016, 29syl 16 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( +f `  (mulGrp `  R )
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen `  R )
)  Cn  ( TopOpen `  R ) ) )
31 eqid 2450 . . . 4  |-  ( +f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( +f `  (mulGrp `  R ) )
3231, 13istmd 19747 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )  e. TopMnd  <->  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  R )  e.  TopSp  /\  ( +f `  (mulGrp `  R
) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R
)  tX  ( TopOpen `  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R )
) ) )
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
343istrg 19840 . 2  |-  ( R  e.  TopRing 
<->  ( R  e.  TopGrp  /\  R  e.  Ring  /\  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
)
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1172 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1757    _I cid 4715   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   1c1 9370   9c9 10465   Basecbs 14262  TopSetcts 14332   TopOpenctopn 14448   Mndcmnd 15497   +fcplusf 15500  mulGrpcmgp 16682   Ringcrg 16737  ringLModcrglmod 17342  TopOnctopon 18601   TopSpctps 18603    Cn ccn 18930    tX ctx 19235  TopMndctmd 19743   TopGrpctgp 19744   TopRingctrg 19832  NrmRingcnrg 20274  NrmModcnlm 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-fi 7748  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-hom 14350  df-cco 14351  df-rest 14449  df-topn 14450  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-topgen 14470  df-pt 14471  df-prds 14474  df-xrs 14528  df-qtop 14533  df-imas 14534  df-xps 14536  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-plusf 15504  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-subrg 16955  df-abv 16994  df-lmod 17042  df-scaf 17043  df-sra 17345  df-rgmod 17346  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-met 17906  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-topsp 18609  df-cn 18933  df-cnp 18934  df-tx 19237  df-hmeo 19430  df-tmd 19745  df-tgp 19746  df-trg 19836  df-xms 19997  df-ms 19998  df-tms 19999  df-nm 20277  df-ngp 20278  df-nrg 20280  df-nlm 20281
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  20375  nlmtlm  20376  iistmd  26452  qqhcn  26540
  Copyright terms: Public domain W3C validator