MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtdrg Structured version   Unicode version

Theorem nrgtdrg 21069
Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtdrg  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e. TopDRing )

Proof of Theorem nrgtdrg
StepHypRef Expression
1 nrgtrg 21066 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e.  TopRing )
3 simpr 461 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e.  DivRing )
4 nrgring 21040 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e.  Ring )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)
86, 7unitgrp 17188 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  Grp )
95, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  Grp )
10 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
1110trgtmd 20535 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopRing  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
122, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  (mulGrp `  R
)  e. TopMnd )
136, 10unitsubm 17191 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
145, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  (Unit `  R
)  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R ) ) )
157submtmd 20471 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. TopMnd  /\  (Unit `  R
)  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e. TopMnd )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e. TopMnd )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
19 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
2017, 6, 18, 19nrginvrcn 21068 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( invr `  R
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) )  Cn  ( ( TopOpen `  R
)t  (Unit `  R )
) ) )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( invr `  R )  e.  ( ( ( TopOpen `  R
)t  (Unit `  R )
)  Cn  ( (
TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) ) ) )
2210, 19mgptopn 17022 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (mulGrp `  R
) )
237, 22resstopn 19555 . . . 4  |-  ( (
TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) )  =  ( TopOpen `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
) )
246, 7, 18invrfval 17194 . . . 4  |-  ( invr `  R )  =  ( invg `  (
(mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) ) )
2523, 24istgp 20444 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) )  e. 
TopGrp 
<->  ( ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  Grp  /\  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) )  e. TopMnd  /\  ( invr `  R
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) )  Cn  ( ( TopOpen `  R
)t  (Unit `  R )
) ) ) )
269, 16, 21, 25syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  TopGrp )
2710, 6istdrg 20536 . 2  |-  ( R  e. TopDRing 
<->  ( R  e.  TopRing  /\  R  e.  DivRing  /\  (
(mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) )  e. 
TopGrp ) )
282, 3, 26, 27syl3anbrc 1180 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e. TopDRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694  SubMndcsubmnd 15838   Grpcgrp 15925  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070  Unitcui 17160   invrcinvr 17192   DivRingcdr 17267    Cn ccn 19593  TopMndctmd 20437   TopGrpctgp 20438   TopRingctrg 20526  TopDRingctdrg 20527  NrmRingcnrg 20968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-subrg 17298  df-abv 17337  df-lmod 17385  df-scaf 17386  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-nzr 17776  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-tmd 20439  df-tgp 20440  df-trg 20530  df-tdrg 20531  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-nrg 20974  df-nlm 20975
This theorem is referenced by:  nvctvc  21076
  Copyright terms: Public domain W3C validator