Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtdrg Structured version   Unicode version

Theorem nrgtdrg 21327
 Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtdrg NrmRing TopDRing

Proof of Theorem nrgtdrg
StepHypRef Expression
1 nrgtrg 21324 . . 3 NrmRing
3 simpr 461 . 2 NrmRing
4 nrgring 21298 . . . . 5 NrmRing
54adantr 465 . . . 4 NrmRing
6 eqid 2457 . . . . 5 Unit Unit
7 eqid 2457 . . . . 5 mulGrps Unit mulGrps Unit
86, 7unitgrp 17443 . . . 4 mulGrps Unit
95, 8syl 16 . . 3 NrmRing mulGrps Unit
10 eqid 2457 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
1110trgtmd 20793 . . . . 5 mulGrp TopMnd
122, 11syl 16 . . . 4 NrmRing mulGrp TopMnd
136, 10unitsubm 17446 . . . . 5 Unit SubMndmulGrp
145, 13syl 16 . . . 4 NrmRing Unit SubMndmulGrp
157submtmd 20729 . . . 4 mulGrp TopMnd Unit SubMndmulGrp mulGrps Unit TopMnd
1612, 14, 15syl2anc 661 . . 3 NrmRing mulGrps Unit TopMnd
17 eqid 2457 . . . . 5
18 eqid 2457 . . . . 5
19 eqid 2457 . . . . 5
2017, 6, 18, 19nrginvrcn 21326 . . . 4 NrmRing t Unit t Unit
2120adantr 465 . . 3 NrmRing t Unit t Unit
2210, 19mgptopn 17277 . . . . 5 mulGrp
237, 22resstopn 19814 . . . 4 t Unit mulGrps Unit
246, 7, 18invrfval 17449 . . . 4 mulGrps Unit
2523, 24istgp 20702 . . 3 mulGrps Unit mulGrps Unit mulGrps Unit TopMnd t Unit t Unit
269, 16, 21, 25syl3anbrc 1180 . 2 NrmRing mulGrps Unit
2710, 6istdrg 20794 . 2 TopDRing mulGrps Unit
282, 3, 26, 27syl3anbrc 1180 1 NrmRing TopDRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wcel 1819  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   ↾s cress 14645   ↾t crest 14838  ctopn 14839  SubMndcsubmnd 16092  cgrp 16180  mulGrpcmgp 17268  crg 17325  Unitcui 17415  cinvr 17447  cdr 17523   ccn 19852  TopMndctmd 20695  ctgp 20696  ctrg 20784  TopDRingctdrg 20785  NrmRingcnrg 21226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-plusf 15998  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-subrg 17554  df-abv 17593  df-lmod 17641  df-scaf 17642  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-nzr 18033  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-tmd 20697  df-tgp 20698  df-trg 20788  df-tdrg 20789  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232  df-nlm 21233 This theorem is referenced by:  nvctvc  21334
 Copyright terms: Public domain W3C validator