MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtdrg Structured version   Unicode version

Theorem nrgtdrg 20285
Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtdrg  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e. TopDRing )

Proof of Theorem nrgtdrg
StepHypRef Expression
1 nrgtrg 20282 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e.  TopRing )
3 simpr 461 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e.  DivRing )
4 nrgrng 20256 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e.  Ring )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)
86, 7unitgrp 16771 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  Grp )
95, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  Grp )
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
1110trgtmd 19751 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopRing  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
122, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  (mulGrp `  R
)  e. TopMnd )
136, 10unitsubm 16774 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
145, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  (Unit `  R
)  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R ) ) )
157submtmd 19687 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. TopMnd  /\  (Unit `  R
)  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e. TopMnd )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e. TopMnd )
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
19 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
2017, 6, 18, 19nrginvrcn 20284 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( invr `  R
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) )  Cn  ( ( TopOpen `  R
)t  (Unit `  R )
) ) )
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( invr `  R )  e.  ( ( ( TopOpen `  R
)t  (Unit `  R )
)  Cn  ( (
TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) ) ) )
2210, 19mgptopn 16612 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (mulGrp `  R
) )
237, 22resstopn 18802 . . . 4  |-  ( (
TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) )  =  ( TopOpen `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
) )
246, 7, 18invrfval 16777 . . . 4  |-  ( invr `  R )  =  ( invg `  (
(mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) ) )
2523, 24istgp 19660 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) )  e. 
TopGrp 
<->  ( ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  Grp  /\  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) )  e. TopMnd  /\  ( invr `  R
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )t  (Unit `  R ) )  Cn  ( ( TopOpen `  R
)t  (Unit `  R )
) ) ) )
269, 16, 21, 25syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  e.  TopGrp )
2710, 6istdrg 19752 . 2  |-  ( R  e. TopDRing 
<->  ( R  e.  TopRing  /\  R  e.  DivRing  /\  (
(mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) )  e. 
TopGrp ) )
282, 3, 26, 27syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e.  DivRing )  ->  R  e. TopDRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   ↾s cress 14187   ↾t crest 14371   TopOpenctopn 14372   Grpcgrp 15422  SubMndcsubmnd 15475  mulGrpcmgp 16603   Ringcrg 16657  Unitcui 16743   invrcinvr 16775   DivRingcdr 16844    Cn ccn 18840  TopMndctmd 19653   TopGrpctgp 19654   TopRingctrg 19742  TopDRingctdrg 19743  NrmRingcnrg 20184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-plusf 15428  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-subrg 16875  df-abv 16914  df-lmod 16962  df-scaf 16963  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-nzr 17352  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-tmd 19655  df-tgp 19656  df-trg 19746  df-tdrg 19747  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-nm 20187  df-ngp 20188  df-nrg 20190  df-nlm 20191
This theorem is referenced by:  nvctvc  20292
  Copyright terms: Public domain W3C validator