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Theorem nrginvrcnlem 21325
Description: Lemma for nrginvrcn 21326. Compare this proof with reccn2 13431, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
nrginvrcn.u  |-  U  =  (Unit `  R )
nrginvrcn.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
nrginvrcn.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nrginvrcn.d  |-  D  =  ( dist `  R
)
nrginvrcn.r  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
nrginvrcn.z  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
nrginvrcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
nrginvrcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
nrginvrcn.t  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  x  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    ph, y    x, R, y    x, T, y   
x, U, y    x, A    x, B    x, D
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( y)    B( y)    D( y)    N( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )
2 1rp 11249 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
4 nrgngp 21297 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. NrmGrp )
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  R
)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  (Unit `  R )
86, 7unitss 17436 . . . . . . . 8  |-  U  C_  X
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
108, 9sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
12 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
137, 12nzrunit 18042 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  A  e.  U )  ->  A  =/=  ( 0g `  R
) )
1411, 9, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  ( 0g
`  R ) )
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  R
)
166, 15, 12nmrpcl 21265 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( N `  A )  e.  RR+ )
175, 10, 14, 16syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR+ )
18 nrginvrcn.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
1917, 18rpmulcld 11297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR+ )
20 ifcl 3986 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( N `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
212, 19, 20sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_ 
( ( N `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( N `  A )  x.  B
) )  e.  RR+ )
2217rphalfcld 11293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  /  2
)  e.  RR+ )
2321, 22rpmulcld 11297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  e.  RR+ )
241, 23syl5eqel 2549 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
255adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e. NrmGrp )
269adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  A  e.  U )
276, 7unitcl 17435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  X )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  A  e.  X )
296, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  e.  RR )
3130recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  e.  CC )
32 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
y  e.  U )
338, 32sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
y  e.  X )
346, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
3525, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  y
)  e.  RR )
3635recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  y
)  e.  CC )
37 ngpgrp 21245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. NrmGrp  ->  R  e.  Grp )
3825, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e.  Grp )
39 nrgring 21298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
403, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e.  Ring )
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( invr `  R
)
437, 42, 6ringinvcl 17452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  (
I `  A )  e.  X )
4441, 26, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( I `  A
)  e.  X )
457, 42, 6ringinvcl 17452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  U )  ->  (
I `  y )  e.  X )
4641, 32, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( I `  y
)  e.  X )
47 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
486, 47grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( I `  A
)  e.  X  /\  ( I `  y
)  e.  X )  ->  ( ( I `
 A ) (
-g `  R )
( I `  y
) )  e.  X
)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) )  e.  X )
506, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) )  e.  RR )
5125, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  RR )
5251recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  CC )
5331, 36, 52mul32d 9807 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) )  x.  ( N `  y )
) )
543adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e. NrmRing )
55 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
566, 15, 55nmmul 21299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  A  e.  X  /\  ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( .r `  R
) ( ( I `
 A ) (
-g `  R )
( I `  y
) ) ) )  =  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) ) )
5754, 28, 49, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  ( A ( .r `  R ) ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) )  =  ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) ) )
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 17372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( ( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  =  ( ( A ( .r `  R
) ( I `  A ) ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )
59 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
607, 42, 55, 59unitrinv 17454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
6141, 26, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) )  =  ( 1r
`  R ) )
6261oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( I `  A
) ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) )  =  ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )
6358, 62eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( ( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  =  ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )
6463fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  ( A ( .r `  R ) ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) )  =  ( N `
 ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) ) )
6557, 64eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( N `  ( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) ) )
6665oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `  y
) ) )
676, 59ringidcl 17346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  X )
6841, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( 1r `  R
)  e.  X )
696, 55ringcl 17339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  X  /\  (
I `  y )  e.  X )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) )  e.  X )
7041, 28, 46, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) )  e.  X )
716, 47grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  X  /\  ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) )  e.  X )  -> 
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  X )
7238, 68, 70, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  X )
736, 15, 55nmmul 21299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
( 1r `  R
) ( -g `  R
) ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( (
( 1r `  R
) ( -g `  R
) ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( N `  ( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
7454, 72, 33, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) ( .r `  R
) y ) )  =  ( ( N `
 ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `  y
) ) )
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33rngsubdir 17373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) ( .r
`  R ) y )  =  ( ( ( 1r `  R
) ( .r `  R ) y ) ( -g `  R
) ( ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ( .r `  R ) y ) ) )
766, 55, 59ringlidm 17349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  X )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) y )  =  y )
7741, 33, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y )  =  y )
786, 55ringass 17342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  X  /\  ( I `  y
)  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) ) ( .r `  R
) y )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( I `  y
) ( .r `  R ) y ) ) )
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) ( .r
`  R ) y )  =  ( A ( .r `  R
) ( ( I `
 y ) ( .r `  R ) y ) ) )
807, 42, 55, 59unitlinv 17453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  U )  ->  (
( I `  y
) ( .r `  R ) y )  =  ( 1r `  R ) )
8141, 32, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  y ) ( .r
`  R ) y )  =  ( 1r
`  R ) )
8281oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( ( I `  y
) ( .r `  R ) y ) )  =  ( A ( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) )
836, 55, 59ringridm 17350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  A )
8441, 28, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( 1r `  R ) )  =  A )
8579, 82, 843eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) ( .r
`  R ) y )  =  A )
8677, 85oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) ( -g `  R ) ( ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) ) ( .r `  R
) y ) )  =  ( y (
-g `  R ) A ) )
8775, 86eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( -g `  R
) A ) )
8887fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) ( .r `  R
) y ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) )
8974, 88eqtr3d 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  ( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `
 y ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) )
9053, 66, 893eqtrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) )
916, 47grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( y ( -g `  R ) A )  e.  X )
9238, 33, 28, 91syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( y ( -g `  R ) A )  e.  X )
936, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
y ( -g `  R
) A )  e.  X )  ->  ( N `  ( y
( -g `  R ) A ) )  e.  RR )
9425, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
y ( -g `  R
) A ) )  e.  RR )
9594recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
y ( -g `  R
) A ) )  e.  CC )
9617adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  e.  RR+ )
9711adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e. NzRing )
987, 12nzrunit 18042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  y  e.  U )  ->  y  =/=  ( 0g `  R
) )
9997, 32, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  R ) )
1006, 15, 12nmrpcl 21265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  y  e.  X  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( N `  y )  e.  RR+ )
10125, 33, 99, 100syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  y
)  e.  RR+ )
10296, 101rpmulcld 11297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR+ )
103102rpred 11281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR )
104103recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  e.  CC )
105102rpne0d 11286 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  =/=  0 )
10695, 104, 52, 105divmuld 10363 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 ( y (
-g `  R ) A ) )  / 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
) )  =  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  <-> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) ) )
10790, 106mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) )  /  ( ( N `  A )  x.  ( N `  y ) ) )  =  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) )
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( dist `  R
)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 21250 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  (
y ( -g `  R
) A ) ) )
11025, 28, 33, 109syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  =  ( N `
 ( y (
-g `  R ) A ) ) )
111110oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A D y )  /  (
( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) ) )  =  ( ( N `  ( y ( -g `  R
) A ) )  /  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) ) ) )
11215, 6, 47, 108ngpds 21249 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  X  /\  (
I `  y )  e.  X )  ->  (
( I `  A
) D ( I `
 y ) )  =  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) )
11325, 44, 46, 112syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  =  ( N `
 ( ( I `
 A ) (
-g `  R )
( I `  y
) ) ) )
114107, 111, 1133eqtr4rd 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  =  ( ( A D y )  /  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) ) ) )
115110, 94eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  e.  RR )
11624adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  e.  RR+ )
117116rpred 11281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  e.  RR )
11818adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  B  e.  RR+ )
119118rpred 11281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  B  e.  RR )
120103, 119remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  B
)  e.  RR )
121 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  <  T )
12219adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR+ )
12396rphalfcld 11293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  e.  RR+ )
124122, 123rpmulcld 11297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
125124rpred 11281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
126 1re 9612 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
127122rpred 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR )
128 min2 11415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  B
) )
129126, 127, 128sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  B ) )
13021adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
131130rpred 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  e.  RR )
132131, 127, 123lemul1d 11320 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  B
)  <->  ( if ( 1  <_  ( ( N `  A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
( ( N `  A )  x.  B
)  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) ) )
133129, 132mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
( ( N `  A )  x.  B
)  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) )
1341, 133syl5eqbr 4489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <_  ( ( ( N `  A )  x.  B )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) ) )
135123rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  e.  RR )
136312halvesd 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  / 
2 )  +  ( ( N `  A
)  /  2 ) )  =  ( N `
 A ) )
13730, 35resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  e.  RR )
1386, 15, 47nm2dif 21270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 y ) )  <_  ( N `  ( A ( -g `  R
) y ) ) )
13925, 28, 33, 138syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  <_  ( N `  ( A ( -g `  R ) y ) ) )
14015, 6, 47, 108ngpds 21249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A ( -g `  R
) y ) ) )
14125, 28, 33, 140syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  =  ( N `
 ( A (
-g `  R )
y ) ) )
142139, 141breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  <_  ( A D y ) )
143 min1 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
1 )
144126, 127, 143sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
145 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
1  e.  RR )
146131, 145, 123lemul1d 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
1  <->  ( if ( 1  <_  ( ( N `  A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
1  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) ) )
147144, 146mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
1  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) )
1481, 147syl5eqbr 4489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <_  ( 1  x.  ( ( N `  A )  /  2
) ) )
149135recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  e.  CC )
150149mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( 1  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  =  ( ( N `  A )  /  2 ) )
151148, 150breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <_  ( ( N `
 A )  / 
2 ) )
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  <  ( ( N `  A )  /  2 ) )
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 9757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  <  ( ( N `  A )  /  2 ) )
15430, 35, 135ltsubadd2d 10171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  -  ( N `  y ) )  <  ( ( N `  A )  /  2 )  <->  ( N `  A )  <  (
( N `  y
)  +  ( ( N `  A )  /  2 ) ) ) )
155153, 154mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  <  ( ( N `  y )  +  ( ( N `
 A )  / 
2 ) ) )
156136, 155eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  / 
2 )  +  ( ( N `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( N `  y )  +  ( ( N `
 A )  / 
2 ) ) )
157135, 35, 135ltadd1d 10166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  / 
2 )  <  ( N `  y )  <->  ( ( ( N `  A )  /  2
)  +  ( ( N `  A )  /  2 ) )  <  ( ( N `
 y )  +  ( ( N `  A )  /  2
) ) ) )
158156, 157mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  <  ( N `  y ) )
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 11333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( ( N `  A
)  x.  B )  x.  ( N `  y ) ) )
160119recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  B  e.  CC )
16131, 36, 160mul32d 9807 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  B
)  =  ( ( ( N `  A
)  x.  B )  x.  ( N `  y ) ) )
162159, 161breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) )  x.  B ) )
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 9757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  y ) )  x.  B ) )
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 9760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  <  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) )  x.  B ) )
165115, 119, 102ltdivmuld 11328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( A D y )  / 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
) )  <  B  <->  ( A D y )  <  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  y ) )  x.  B ) ) )
166164, 165mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A D y )  /  (
( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) ) )  <  B )
167114, 166eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B )
168167expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  (
( A D y )  <  T  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
169168ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  T  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
170 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  T  ->  (
( A D y )  <  x  <->  ( A D y )  < 
T ) )
171170imbi1d 317 . . . 4  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( A D y )  <  x  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B )  <-> 
( ( A D y )  <  T  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) ) )
172171ralbidv 2896 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  ( A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  x  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B )  <->  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  T  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) ) )
173172rspcev 3210 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. y  e.  U  (
( A D y )  <  T  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( A D y )  < 
x  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  y ) )  < 
B ) )
17424, 169, 173syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  x  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   distcds 14721   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182   1rcur 17280   Ringcrg 17325  Unitcui 17415   invrcinvr 17447  NzRingcnzr 18032   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224  NrmRingcnrg 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-xrs 14919  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-abv 17593  df-nzr 18033  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  21326
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