Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcnlem Structured version   Unicode version

Theorem nrginvrcnlem 21325
 Description: Lemma for nrginvrcn 21326. Compare this proof with reccn2 13431, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x
nrginvrcn.u Unit
nrginvrcn.i
nrginvrcn.n
nrginvrcn.d
nrginvrcn.r NrmRing
nrginvrcn.z NzRing
nrginvrcn.a
nrginvrcn.b
nrginvrcn.t
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3
2 1rp 11249 . . . . 5
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 NrmRing
4 nrgngp 21297 . . . . . . . 8 NrmRing NrmGrp
53, 4syl 16 . . . . . . 7 NrmGrp
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 Unit
86, 7unitss 17436 . . . . . . . 8
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8
108, 9sseldi 3497 . . . . . . 7
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 NzRing
12 eqid 2457 . . . . . . . . 9
137, 12nzrunit 18042 . . . . . . . 8 NzRing
1411, 9, 13syl2anc 661 . . . . . . 7
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8
166, 15, 12nmrpcl 21265 . . . . . . 7 NrmGrp
175, 10, 14, 16syl3anc 1228 . . . . . 6
18 nrginvrcn.b . . . . . 6
1917, 18rpmulcld 11297 . . . . 5
20 ifcl 3986 . . . . 5
212, 19, 20sylancr 663 . . . 4
2217rphalfcld 11293 . . . 4
2321, 22rpmulcld 11297 . . 3
241, 23syl5eqel 2549 . 2
255adantr 465 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
269adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
276, 7unitcl 17435 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11
296, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3130recnd 9639 . . . . . . . . 9
32 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
338, 32sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11
346, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
3525, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3635recnd 9639 . . . . . . . . 9
37 ngpgrp 21245 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
3825, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12
39 nrgring 21298 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmRing
403, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14
437, 42, 6ringinvcl 17452 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 26, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
457, 42, 6ringinvcl 17452 . . . . . . . . . . . . 13
4641, 32, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
47 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
486, 47grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . . 12
4938, 44, 46, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
506, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
5125, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5251recnd 9639 . . . . . . . . 9
5331, 36, 52mul32d 9807 . . . . . . . 8
543adantr 465 . . . . . . . . . . 11 NrmRing
55 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
566, 15, 55nmmul 21299 . . . . . . . . . . 11 NrmRing
5754, 28, 49, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 17372 . . . . . . . . . . . 12
59 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
607, 42, 55, 59unitrinv 17454 . . . . . . . . . . . . . 14
6141, 26, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
6261oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
6358, 62eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
6463fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10
6557, 64eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
6665oveq1d 6311 . . . . . . . 8
676, 59ringidcl 17346 . . . . . . . . . . . 12
6841, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
696, 55ringcl 17339 . . . . . . . . . . . 12
7041, 28, 46, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
716, 47grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . 11
7238, 68, 70, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
736, 15, 55nmmul 21299 . . . . . . . . . 10 NrmRing
7454, 72, 33, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33rngsubdir 17373 . . . . . . . . . . 11
766, 55, 59ringlidm 17349 . . . . . . . . . . . . 13
7741, 33, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
786, 55ringass 17342 . . . . . . . . . . . . . 14
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13
807, 42, 55, 59unitlinv 17453 . . . . . . . . . . . . . . 15
8141, 32, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
8281oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
836, 55, 59ringridm 17350 . . . . . . . . . . . . . 14
8441, 28, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
8579, 82, 843eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12
8677, 85oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
8775, 86eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
8887fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
8974, 88eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
9053, 66, 893eqtrd 2502 . . . . . . 7
916, 47grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . 11
9238, 33, 28, 91syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
936, 15nmcl 21261 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
9425, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . 9
9594recnd 9639 . . . . . . . 8
9617adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9711adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
987, 12nzrunit 18042 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
9997, 32, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
1006, 15, 12nmrpcl 21265 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
10125, 33, 99, 100syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
10296, 101rpmulcld 11297 . . . . . . . . . 10
103102rpred 11281 . . . . . . . . 9
104103recnd 9639 . . . . . . . 8
105102rpne0d 11286 . . . . . . . 8
10695, 104, 52, 105divmuld 10363 . . . . . . 7
10790, 106mpbird 232 . . . . . 6
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9
10915, 6, 47, 108ngpdsr 21250 . . . . . . . 8 NrmGrp
11025, 28, 33, 109syl3anc 1228 . . . . . . 7
111110oveq1d 6311 . . . . . 6
11215, 6, 47, 108ngpds 21249 . . . . . . 7 NrmGrp
11325, 44, 46, 112syl3anc 1228 . . . . . 6
114107, 111, 1133eqtr4rd 2509 . . . . 5
115110, 94eqeltrd 2545 . . . . . . 7
11624adantr 465 . . . . . . . 8
117116rpred 11281 . . . . . . 7
11818adantr 465 . . . . . . . . 9
119118rpred 11281 . . . . . . . 8
120103, 119remulcld 9641 . . . . . . 7
121 simprr 757 . . . . . . 7
12219adantr 465 . . . . . . . . . 10
12396rphalfcld 11293 . . . . . . . . . 10
124122, 123rpmulcld 11297 . . . . . . . . 9
125124rpred 11281 . . . . . . . 8
126 1re 9612 . . . . . . . . . . 11
127122rpred 11281 . . . . . . . . . . 11
128 min2 11415 . . . . . . . . . . 11
129126, 127, 128sylancr 663 . . . . . . . . . 10
13021adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
131130rpred 11281 . . . . . . . . . . 11
132131, 127, 123lemul1d 11320 . . . . . . . . . 10
133129, 132mpbid 210 . . . . . . . . 9
1341, 133syl5eqbr 4489 . . . . . . . 8
135123rpred 11281 . . . . . . . . . 10
136312halvesd 10805 . . . . . . . . . . . 12
13730, 35resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . 14
1386, 15, 47nm2dif 21270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmGrp
13925, 28, 33, 138syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
14015, 6, 47, 108ngpds 21249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmGrp
14125, 28, 33, 140syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
142139, 141breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . . 14
143 min1 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144126, 127, 143sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146131, 145, 123lemul1d 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147144, 146mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1481, 147syl5eqbr 4489 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149135recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150149mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151148, 150breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . 14
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 9757 . . . . . . . . . . . . 13
15430, 35, 135ltsubadd2d 10171 . . . . . . . . . . . . 13
155153, 154mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
156136, 155eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11
157135, 35, 135ltadd1d 10166 . . . . . . . . . . 11
158156, 157mpbird 232 . . . . . . . . . 10
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 11333 . . . . . . . . 9
160119recnd 9639 . . . . . . . . . 10
16131, 36, 160mul32d 9807 . . . . . . . . 9
162159, 161breqtrrd 4482 . . . . . . . 8
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 9757 . . . . . . 7
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 9760 . . . . . 6
165115, 119, 102ltdivmuld 11328 . . . . . 6
166164, 165mpbird 232 . . . . 5
167114, 166eqbrtrd 4476 . . . 4
168167expr 615 . . 3
169168ralrimiva 2871 . 2
170 breq2 4460 . . . . 5
171170imbi1d 317 . . . 4
172171ralbidv 2896 . . 3
173172rspcev 3210 . 2
17424, 169, 173syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  cif 3944   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   clt 9645   cle 9646   cmin 9824   cdiv 10227  c2 10606  crp 11245  cbs 14644  cmulr 14713  cds 14721  c0g 14857  cgrp 16180  csg 16182  cur 17280  crg 17325  Unitcui 17415  cinvr 17447  NzRingcnzr 18032  cnm 21223  NrmGrpcngp 21224  NrmRingcnrg 21226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-xrs 14919  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-abv 17593  df-nzr 18033  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232 This theorem is referenced by:  nrginvrcn  21326
 Copyright terms: Public domain W3C validator