Theorem nrginvrcn 18680

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	|- X = ( Base ` R )
nrginvrcn.u	|- U = (Unit ` R )
nrginvrcn.i	|- I = ( invr ` R )
nrginvrcn.j	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	|- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables s r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgrng 18652	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> R e. Ring )
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
3		eqid 2404	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 15727	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp )
5	2, 3	unitgrpbas 15726	. . . . 5 |- U = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 |- I = ( invr ` R )
7	2, 3, 6	invrfval 15733	. . . . 5 |- I = ( inv g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
8	5, 7	grpinvf 14804	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp -> I : U --> U )
9	1, 4, 8	3syl 19	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> I : U --> U )
10		1rp 10572	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
11		ne0i 3594	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR+ -> RR+ =/= (/) )
12	10, 11	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- RR+ =/= (/)
13	1	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. Ring )
14		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( Base ` R )
15	14, 2	unitss 15720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U C_ X
16		simplrl 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. U )
17	15, 16	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. X )
18		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
19	15, 18	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. X )
20		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
21		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
22	14, 20, 21	rng1eq0 15657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
23	13, 17, 19, 22	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
24		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I ` y ) = ( I ` y )
25		nrgngp 18651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
26		ngpms 18600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmGrp -> R e. MetSp )
27		msxms 18437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. MetSp -> R e. * MetSp )
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. NrmRing -> R e. * MetSp )
29	28	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. * MetSp )
30	9	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> I : U --> U )
31	30	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. U )
32	15, 31	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. X )
33		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
34	14, 33	xmseq0 18447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. * MetSp /\ ( I ` y ) e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
35	29, 32, 32, 34	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
36	24, 35	mpbiri 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 )
37		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> r e. RR+ )
38	37	rpgt0d 10607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> 0 < r )
39	36, 38	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
40		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
41	40	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
42	41	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
43	39, 42	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
44	23, 43	syld 42	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
45	44	imp 419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
46	45	an32s 780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
47	46	a1d 23	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
48	47	ralrimiva 2749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
49	48	ralrimivw 2750	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
50		r19.2z 3677	. . . . . . 7 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
51	12, 49, 50	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
52		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( norm ` R ) = ( norm ` R )
53		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NrmRing )
54	1	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. Ring )
55		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
56	20, 21	isnzr 16285	. . . . . . . 8 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
57	54, 55, 56	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NzRing )
58		simplrl 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> x e. U )
59		simplrr 738	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> r e. RR+ )
60		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) )
61	14, 2, 6, 52, 33, 53, 57, 58, 59, 60	nrginvrcnlem 18679	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
62	51, 61	pm2.61dane 2645	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
63	16, 18	ovresd 6173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) = ( x ( dist ` R ) y ) )
64	63	breq1d 4182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s <-> ( x ( dist ` R ) y ) < s ) )
65		simpl 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U /\ r e. RR+ ) -> x e. U )
66		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I : U --> U /\ x e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
67	9, 65, 66	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( I ` x ) e. U )
68	67	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
69	68, 31	ovresd 6173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
70	69	breq1d 4182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
71	64, 70	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
72	71	ralbidva 2682	. . . . . 6 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
73	72	rexbidv 2687	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
74	62, 73	mpbird 224	. . . 4 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
75	74	ralrimivva 2758	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
76		xpss12 4940	. . . . . . 7 |- ( ( U C_ X /\ U C_ X ) -> ( U X. U ) C_ ( X X. X ) )
77	15, 15, 76	mp2an 654	. . . . . 6 |- ( U X. U ) C_ ( X X. X )
78		resabs1 5134	. . . . . 6 |- ( ( U X. U ) C_ ( X X. X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
79	77, 78	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) )
80	25, 26	syl 16	. . . . . . 7 |- ( R e. NrmRing -> R e. MetSp )
81		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) )
82	14, 81	xmsxmet 18439	. . . . . . 7 |- ( R e. * MetSp -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( * Met ` X ) )
83	80, 27, 82	3syl 19	. . . . . 6 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( * Met ` X ) )
84		xmetres2 18344	. . . . . 6 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( * Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( * Met ` U ) )
85	83, 15, 84	sylancl 644	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( * Met ` U ) )
86	79, 85	syl5eqelr 2489	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( * Met ` U ) )
87		eqid 2404	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
88	87, 87	metcn 18526	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( * Met ` U ) /\ ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( * Met ` U ) ) -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
89	86, 86, 88	syl2anc 643	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
90	9, 75, 89	mpbir2and 889	. 2 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
91		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` R )
92	91, 14, 81	mstopn 18435	. . . . . 6 |- ( R e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
93	25, 26, 92	3syl 19	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
94	93	oveq1d 6055	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) )
95	79	eqcomi 2408	. . . . . 6 |- ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) = ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) )
96		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) )
97	95, 96, 87	metrest 18507	. . . . 5 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( * Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
98	83, 15, 97	sylancl 644	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
99	94, 98	eqtrd 2436	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
100	99, 99	oveq12d 6058	. 2 |- ( R e. NrmRing -> ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
101	90, 100	eleqtrrd 2481	1 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425   distcds 13493   ↾_t crest 13603   TopOpenctopn 13604   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   1rcur 15617  Unitcui 15699   invrcinvr 15731  NzRingcnzr 16283   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646   Cn ccn 17242   * MetSpcxme 18300   MetSpcmt 18301   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578  NrmRingcnrg 18580

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  18681

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-abv 15860  df-nzr 16284  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-xms 18303  df-ms 18304  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586