Theorem nrginvrcn 20231

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	|- X = ( Base ` R )
nrginvrcn.u	|- U = (Unit ` R )
nrginvrcn.i	|- I = ( invr ` R )
nrginvrcn.j	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	|- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables s r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgrng 20203	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> R e. Ring )
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
3		eqid 2441	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 16749	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp )
5	2, 3	unitgrpbas 16748	. . . . 5 |- U = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 |- I = ( invr ` R )
7	2, 3, 6	invrfval 16755	. . . . 5 |- I = ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
8	5, 7	grpinvf 15575	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp -> I : U --> U )
9	1, 4, 8	3syl 20	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> I : U --> U )
10		1rp 10991	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
11		ne0i 3640	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR+ -> RR+ =/= (/) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- RR+ =/= (/)
13	1	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. Ring )
14		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( Base ` R )
15	14, 2	unitss 16742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U C_ X
16		simplrl 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. U )
17	15, 16	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. X )
18		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
19	15, 18	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. X )
20		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
21		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
22	14, 20, 21	rng1eq0 16674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
23	13, 17, 19, 22	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
24		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I ` y ) = ( I ` y )
25		nrgngp 20202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
26		ngpms 20151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmGrp -> R e. MetSp )
27		msxms 19988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. MetSp -> R e. *MetSp )
28	25, 26, 27	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. NrmRing -> R e. *MetSp )
29	28	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. *MetSp )
30	9	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> I : U --> U )
31	30	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. U )
32	15, 31	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. X )
33		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
34	14, 33	xmseq0 19998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. *MetSp /\ ( I ` y ) e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
35	29, 32, 32, 34	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
36	24, 35	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 )
37		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> r e. RR+ )
38	37	rpgt0d 11026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> 0 < r )
39	36, 38	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
40		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
41	40	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
42	41	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
43	39, 42	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
44	23, 43	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
45	44	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
46	45	an32s 797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
47	46	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
48	47	ralrimiva 2797	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
49	48	ralrimivw 2798	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
50		r19.2z 3766	. . . . . . 7 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
51	12, 49, 50	sylancr 658	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
52		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( norm ` R ) = ( norm ` R )
53		simpll 748	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NrmRing )
54	1	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. Ring )
55		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
56	20, 21	isnzr 17319	. . . . . . . 8 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
57	54, 55, 56	sylanbrc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NzRing )
58		simplrl 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> x e. U )
59		simplrr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> r e. RR+ )
60		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) )
61	14, 2, 6, 52, 33, 53, 57, 58, 59, 60	nrginvrcnlem 20230	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
62	51, 61	pm2.61dane 2687	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
63	16, 18	ovresd 6230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) = ( x ( dist ` R ) y ) )
64	63	breq1d 4299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s <-> ( x ( dist ` R ) y ) < s ) )
65		simpl 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U /\ r e. RR+ ) -> x e. U )
66		ffvelrn 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I : U --> U /\ x e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
67	9, 65, 66	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( I ` x ) e. U )
68	67	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
69	68, 31	ovresd 6230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
70	69	breq1d 4299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
71	64, 70	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
72	71	ralbidva 2729	. . . . . 6 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
73	72	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
74	62, 73	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
75	74	ralrimivva 2806	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
76		xpss12 4941	. . . . . . 7 |- ( ( U C_ X /\ U C_ X ) -> ( U X. U ) C_ ( X X. X ) )
77	15, 15, 76	mp2an 667	. . . . . 6 |- ( U X. U ) C_ ( X X. X )
78		resabs1 5136	. . . . . 6 |- ( ( U X. U ) C_ ( X X. X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) )
80		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) )
81	14, 80	xmsxmet 19990	. . . . . . 7 |- ( R e. *MetSp -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
82	25, 26, 27, 81	4syl 21	. . . . . 6 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
83		xmetres2 19895	. . . . . 6 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
84	82, 15, 83	sylancl 657	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
85	79, 84	syl5eqelr 2526	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
86		eqid 2441	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
87	86, 86	metcn 20077	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) /\ ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) ) -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
88	85, 85, 87	syl2anc 656	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
89	9, 75, 88	mpbir2and 908	. 2 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
90		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` R )
91	90, 14, 80	mstopn 19986	. . . . . 6 |- ( R e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
92	25, 26, 91	3syl 20	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
93	92	oveq1d 6105	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) )
94	79	eqcomi 2445	. . . . . 6 |- ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) = ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) )
95		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) )
96	94, 95, 86	metrest 20058	. . . . 5 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
97	82, 15, 96	sylancl 657	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
98	93, 97	eqtrd 2473	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
99	98, 98	oveq12d 6108	. 2 |- ( R e. NrmRing -> ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
100	89, 99	eleqtrrd 2518	1 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   class class class wbr 4289   X. cxp 4834   |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   / cdiv 9989   2c2 10367   RR+crp 10987   Basecbs 14170   ↾_s cress 14171   distcds 14243   ↾_t crest 14355   TopOpenctopn 14356   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406  mulGrpcmgp 16581   1rcur 16593   Ringcrg 16635  Unitcui 16721   invrcinvr 16753  NzRingcnzr 17317   *Metcxmt 17760   MetOpencmopn 17765   Cn ccn 18787   *MetSpcxme 19851   MetSpcmt 19852   normcnm 20128  NrmGrpcngp 20129  NrmRingcnrg 20131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-rest 14357  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-xrs 14436  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-abv 16882  df-nzr 17318  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-xms 19854  df-ms 19855  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-nrg 20137

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  20232