Theorem nrginvrcn 21743

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	|- X = ( Base ` R )
nrginvrcn.u	|- U = (Unit ` R )
nrginvrcn.i	|- I = ( invr ` R )
nrginvrcn.j	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	|- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables s r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgring 21715	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> R e. Ring )
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
3		eqid 2462	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 17944	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp )
5	2, 3	unitgrpbas 17943	. . . . 5 |- U = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 |- I = ( invr ` R )
7	2, 3, 6	invrfval 17950	. . . . 5 |- I = ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
8	5, 7	grpinvf 16759	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp -> I : U --> U )
9	1, 4, 8	3syl 18	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> I : U --> U )
10		1rp 11335	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
11	10	ne0ii 3750	. . . . . . 7 |- RR+ =/= (/)
12	1	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. Ring )
13		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( Base ` R )
14	13, 2	unitss 17937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U C_ X
15		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. U )
16	14, 15	sseldi 3442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. X )
17		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
18	14, 17	sseldi 3442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. X )
19		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
20		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
21	13, 19, 20	ring1eq0 17869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
23		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I ` y ) = ( I ` y )
24		nrgngp 21714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
25		ngpms 21663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmGrp -> R e. MetSp )
26		msxms 21518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. MetSp -> R e. *MetSp )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. NrmRing -> R e. *MetSp )
28	27	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. *MetSp )
29	9	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> I : U --> U )
30	29	ffvelrnda 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. U )
31	14, 30	sseldi 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. X )
32		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
33	13, 32	xmseq0 21528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. *MetSp /\ ( I ` y ) e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
34	28, 31, 31, 33	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
35	23, 34	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 )
36		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> r e. RR+ )
37	36	rpgt0d 11373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> 0 < r )
38	35, 37	eqbrtrd 4437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
39		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
40	39	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
41	40	breq1d 4426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
42	38, 41	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
43	22, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
44	43	imp 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
45	44	an32s 818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
46	45	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
47	46	ralrimiva 2814	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
48	47	ralrimivw 2815	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
49		r19.2z 3870	. . . . . . 7 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
50	11, 48, 49	sylancr 674	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
51		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( norm ` R ) = ( norm ` R )
52		simpll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NrmRing )
53	1	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. Ring )
54		simpr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
55	19, 20	isnzr 18532	. . . . . . . 8 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
56	53, 54, 55	sylanbrc 675	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NzRing )
57		simplrl 775	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> x e. U )
58		simplrr 776	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> r e. RR+ )
59		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) )
60	13, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59	nrginvrcnlem 21742	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
61	50, 60	pm2.61dane 2723	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
62	15, 17	ovresd 6464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) = ( x ( dist ` R ) y ) )
63	62	breq1d 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s <-> ( x ( dist ` R ) y ) < s ) )
64		simpl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U /\ r e. RR+ ) -> x e. U )
65		ffvelrn 6043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I : U --> U /\ x e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
66	9, 64, 65	syl2an 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( I ` x ) e. U )
67	66	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
68	67, 30	ovresd 6464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
69	68	breq1d 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
70	63, 69	imbi12d 326	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
71	70	ralbidva 2836	. . . . . 6 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
72	71	rexbidv 2913	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
73	61, 72	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
74	73	ralrimivva 2821	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
75		xpss12 4959	. . . . . . 7 |- ( ( U C_ X /\ U C_ X ) -> ( U X. U ) C_ ( X X. X ) )
76	14, 14, 75	mp2an 683	. . . . . 6 |- ( U X. U ) C_ ( X X. X )
77		resabs1 5152	. . . . . 6 |- ( ( U X. U ) C_ ( X X. X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) )
79		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) )
80	13, 79	xmsxmet 21520	. . . . . . 7 |- ( R e. *MetSp -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
81	24, 25, 26, 80	4syl 19	. . . . . 6 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
82		xmetres2 21425	. . . . . 6 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
83	81, 14, 82	sylancl 673	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
84	78, 83	syl5eqelr 2545	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
85		eqid 2462	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
86	85, 85	metcn 21607	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) /\ ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) ) -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
87	84, 84, 86	syl2anc 671	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
88	9, 74, 87	mpbir2and 938	. 2 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
89		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` R )
90	89, 13, 79	mstopn 21516	. . . . . 6 |- ( R e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
91	24, 25, 90	3syl 18	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
92	91	oveq1d 6330	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) )
93	78	eqcomi 2471	. . . . . 6 |- ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) = ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) )
94		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) )
95	93, 94, 85	metrest 21588	. . . . 5 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
96	81, 14, 95	sylancl 673	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
97	92, 96	eqtrd 2496	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
98	97, 97	oveq12d 6333	. 2 |- ( R e. NrmRing -> ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
99	88, 98	eleqtrrd 2543	1 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ifcif 3893   class class class wbr 4416   X. cxp 4851   |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   0cc0 9565   1c1 9566   x. cmul 9570   < clt 9701   <_ cle 9702   / cdiv 10297   2c2 10687   RR+crp 11331   Basecbs 15170   ↾_s cress 15171   distcds 15248   ↾_t crest 15368   TopOpenctopn 15369   0gc0g 15387   Grpcgrp 16718  mulGrpcmgp 17772   1rcur 17784   Ringcrg 17829  Unitcui 17916   invrcinvr 17948  NzRingcnzr 18530   *Metcxmt 19004   MetOpencmopn 19009   Cn ccn 20289   *MetSpcxme 21381   MetSpcmt 21382   normcnm 21640  NrmGrpcngp 21641  NrmRingcnrg 21643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-inf 7983  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-fz 11814  df-seq 12246  df-exp 12305  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-rest 15370  df-0g 15389  df-topgen 15391  df-xrs 15449  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-abv 18094  df-nzr 18531  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-xms 21384  df-ms 21385  df-nm 21646  df-ngp 21647  df-nrg 21649

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  21744