Theorem nrginvrcn 20951

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	|- X = ( Base ` R )
nrginvrcn.u	|- U = (Unit ` R )
nrginvrcn.i	|- I = ( invr ` R )
nrginvrcn.j	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	|- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables s r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgrng 20923	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> R e. Ring )
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
3		eqid 2467	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 17112	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp )
5	2, 3	unitgrpbas 17111	. . . . 5 |- U = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 |- I = ( invr ` R )
7	2, 3, 6	invrfval 17118	. . . . 5 |- I = ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
8	5, 7	grpinvf 15901	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp -> I : U --> U )
9	1, 4, 8	3syl 20	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> I : U --> U )
10		1rp 11223	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
11		ne0i 3791	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR+ -> RR+ =/= (/) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- RR+ =/= (/)
13	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. Ring )
14		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( Base ` R )
15	14, 2	unitss 17105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U C_ X
16		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. U )
17	15, 16	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. X )
18		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
19	15, 18	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. X )
20		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
21		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
22	14, 20, 21	rng1eq0 17034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
23	13, 17, 19, 22	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
24		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I ` y ) = ( I ` y )
25		nrgngp 20922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
26		ngpms 20871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmGrp -> R e. MetSp )
27		msxms 20708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. MetSp -> R e. *MetSp )
28	25, 26, 27	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. NrmRing -> R e. *MetSp )
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. *MetSp )
30	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> I : U --> U )
31	30	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. U )
32	15, 31	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. X )
33		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
34	14, 33	xmseq0 20718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. *MetSp /\ ( I ` y ) e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
35	29, 32, 32, 34	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
36	24, 35	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 )
37		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> r e. RR+ )
38	37	rpgt0d 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> 0 < r )
39	36, 38	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
40		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
41	40	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
42	41	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
43	39, 42	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
44	23, 43	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
45	44	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
46	45	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
47	46	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
48	47	ralrimiva 2878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
49	48	ralrimivw 2879	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
50		r19.2z 3917	. . . . . . 7 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
51	12, 49, 50	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
52		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( norm ` R ) = ( norm ` R )
53		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NrmRing )
54	1	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. Ring )
55		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
56	20, 21	isnzr 17701	. . . . . . . 8 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
57	54, 55, 56	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NzRing )
58		simplrl 759	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> x e. U )
59		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> r e. RR+ )
60		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) )
61	14, 2, 6, 52, 33, 53, 57, 58, 59, 60	nrginvrcnlem 20950	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
62	51, 61	pm2.61dane 2785	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
63	16, 18	ovresd 6426	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) = ( x ( dist ` R ) y ) )
64	63	breq1d 4457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s <-> ( x ( dist ` R ) y ) < s ) )
65		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U /\ r e. RR+ ) -> x e. U )
66		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I : U --> U /\ x e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
67	9, 65, 66	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( I ` x ) e. U )
68	67	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
69	68, 31	ovresd 6426	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
70	69	breq1d 4457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
71	64, 70	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
72	71	ralbidva 2900	. . . . . 6 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
73	72	rexbidv 2973	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
74	62, 73	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
75	74	ralrimivva 2885	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
76		xpss12 5107	. . . . . . 7 |- ( ( U C_ X /\ U C_ X ) -> ( U X. U ) C_ ( X X. X ) )
77	15, 15, 76	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( U X. U ) C_ ( X X. X )
78		resabs1 5301	. . . . . 6 |- ( ( U X. U ) C_ ( X X. X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) )
80		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) )
81	14, 80	xmsxmet 20710	. . . . . . 7 |- ( R e. *MetSp -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
82	25, 26, 27, 81	4syl 21	. . . . . 6 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
83		xmetres2 20615	. . . . . 6 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
84	82, 15, 83	sylancl 662	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
85	79, 84	syl5eqelr 2560	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
86		eqid 2467	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
87	86, 86	metcn 20797	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) /\ ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) ) -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
88	85, 85, 87	syl2anc 661	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
89	9, 75, 88	mpbir2and 920	. 2 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
90		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` R )
91	90, 14, 80	mstopn 20706	. . . . . 6 |- ( R e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
92	25, 26, 91	3syl 20	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
93	92	oveq1d 6298	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) )
94	79	eqcomi 2480	. . . . . 6 |- ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) = ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) )
95		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) )
96	94, 95, 86	metrest 20778	. . . . 5 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
97	82, 15, 96	sylancl 662	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
98	93, 97	eqtrd 2508	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
99	98, 98	oveq12d 6301	. 2 |- ( R e. NrmRing -> ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
100	89, 99	eleqtrrd 2558	1 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   |` cres 5001   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   0cc0 9491   1c1 9492   x. cmul 9496   < clt 9627   <_ cle 9628   / cdiv 10205   2c2 10584   RR+crp 11219   Basecbs 14489   ↾_s cress 14490   distcds 14563   ↾_t crest 14675   TopOpenctopn 14676   0gc0g 14694   Grpcgrp 15726  mulGrpcmgp 16940   1rcur 16952   Ringcrg 16995  Unitcui 17084   invrcinvr 17116  NzRingcnzr 17699   *Metcxmt 18190   MetOpencmopn 18195   Cn ccn 19507   *MetSpcxme 20571   MetSpcmt 20572   normcnm 20848  NrmGrpcngp 20849  NrmRingcnrg 20851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-fz 11672  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-rest 14677  df-0g 14696  df-topgen 14698  df-xrs 14756  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-abv 17261  df-nzr 17700  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-xms 20574  df-ms 20575  df-nm 20854  df-ngp 20855  df-nrg 20857

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  20952