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Theorem nrginvrcn 21326
Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
nrginvrcn.u  |-  U  =  (Unit `  R )
nrginvrcn.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
nrginvrcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn  |-  ( R  e. NrmRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) ) )

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgring 21298 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
2 nrginvrcn.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
3 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U
)
42, 3unitgrp 17443 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  U )  e.  Grp )
52, 3unitgrpbas 17442 . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
6 nrginvrcn.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invr `  R
)
72, 3, 6invrfval 17449 . . . . 5  |-  I  =  ( invg `  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
85, 7grpinvf 16221 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )s  U
)  e.  Grp  ->  I : U --> U )
91, 4, 83syl 20 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  I : U --> U )
10 1rp 11249 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
1110ne0ii 3800 . . . . . . 7  |-  RR+  =/=  (/)
121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  R  e.  Ring )
13 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X  =  ( Base `  R
)
1413, 2unitss 17436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  C_  X
15 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  x  e.  U )
1614, 15sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  x  e.  X )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  y  e.  U )
1814, 17sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  y  e.  X )
19 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2113, 19, 20ring1eq0 17365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  ->  x  =  y )
)
2212, 16, 18, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  x  =  y ) )
23 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I `
 y )  =  ( I `  y
)
24 nrgngp 21297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
25 ngpms 21246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e. NrmGrp  ->  R  e.  MetSp )
26 msxms 21083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  MetSp  ->  R  e.  *MetSp )
2724, 25, 263syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  *MetSp )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  R  e.  *MetSp )
299adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I : U --> U )
3029ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( I `  y )  e.  U
)
3114, 30sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( I `  y )  e.  X
)
32 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
3313, 32xmseq0 21093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  ( I `  y
)  e.  X  /\  ( I `  y
)  e.  X )  ->  ( ( ( I `  y ) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  =  0  <->  ( I `  y )  =  ( I `  y ) ) )
3428, 31, 31, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( (
( I `  y
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  =  0  <->  ( I `  y )  =  ( I `  y ) ) )
3523, 34mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( (
I `  y )
( dist `  R )
( I `  y
) )  =  0 )
36 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  r  e.  RR+ )
3736rpgt0d 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  0  <  r )
3835, 37eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( (
I `  y )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
)
39 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
I `  x )  =  ( I `  y ) )
4039oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( I `  x
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  =  ( ( I `  y ) ( dist `  R ) ( I `
 y ) ) )
4140breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( I `  x ) ( dist `  R ) ( I `
 y ) )  <  r  <->  ( (
I `  y )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) )
4238, 41syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( x  =  y  ->  ( ( I `  x ) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  < 
r ) )
4322, 42syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. NrmRing  /\  ( x  e.  U  /\  r  e.  RR+ )
)  /\  y  e.  U )  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
) )  ->  (
( I `  x
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  < 
r )
4544an32s 804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. NrmRing  /\  ( x  e.  U  /\  r  e.  RR+ )
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  /\  y  e.  U )  ->  (
( I `  x
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  < 
r )
4645a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. NrmRing  /\  ( x  e.  U  /\  r  e.  RR+ )
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  /\  y  e.  U )  ->  (
( x ( dist `  R ) y )  <  s  ->  (
( I `  x
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  < 
r ) )
4746ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. y  e.  U  ( (
x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) )
4847ralrimivw 2872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) )
49 r19.2z 3921 . . . . . . 7  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( (
x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) )
5011, 48, 49sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) )
51 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( norm `  R )  =  (
norm `  R )
52 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  R  e. NrmRing )
531ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  R  e.  Ring )
54 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
5519, 20isnzr 18034 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
5653, 54, 55sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  R  e. NzRing )
57 simplrl 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  e.  U
)
58 simplrr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  r  e.  RR+ )
59 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( if ( 1  <_  (
( ( norm `  R
) `  x )  x.  r ) ,  1 ,  ( ( (
norm `  R ) `  x )  x.  r
) )  x.  (
( ( norm `  R
) `  x )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( (
( norm `  R ) `  x )  x.  r
) ,  1 ,  ( ( ( norm `  R ) `  x
)  x.  r ) )  x.  ( ( ( norm `  R
) `  x )  /  2 ) )
6013, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59nrginvrcnlem 21325 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( dist `  R ) y )  <  s  ->  (
( I `  x
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  < 
r ) )
6150, 60pm2.61dane 2775 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( dist `  R ) y )  <  s  ->  (
( I `  x
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  < 
r ) )
6215, 17ovresd 6442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( x
( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) y )  =  ( x ( dist `  R
) y ) )
6362breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( (
x ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) ) y )  <  s  <->  ( x ( dist `  R
) y )  < 
s ) )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  U  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  U )
65 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I : U --> U  /\  x  e.  U )  ->  ( I `  x
)  e.  U )
669, 64, 65syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( I `  x )  e.  U
)
6766adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( I `  x )  e.  U
)
6867, 30ovresd 6442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( (
I `  x )
( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) ( I `  y ) )  =  ( ( I `  x ) ( dist `  R
) ( I `  y ) ) )
6968breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( (
( I `  x
) ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) ) ( I `  y
) )  <  r  <->  ( ( I `  x
) ( dist `  R
) ( I `  y ) )  < 
r ) )
7063, 69imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( (
( x ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) y )  <  s  ->  (
( I `  x
) ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) ) ( I `  y
) )  <  r
)  <->  ( ( x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) ) )
7170ralbidva 2893 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  U  ( (
x ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) ) y )  <  s  ->  ( ( I `  x ) ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ( I `
 y ) )  <  r )  <->  A. y  e.  U  ( (
x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) ) )
7271rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) y )  <  s  -> 
( ( I `  x ) ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ( I `
 y ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( dist `  R
) y )  < 
s  ->  ( (
I `  x )
( dist `  R )
( I `  y
) )  <  r
) ) )
7361, 72mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
x  e.  U  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) y )  <  s  ->  (
( I `  x
) ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) ) ( I `  y
) )  <  r
) )
7473ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  A. x  e.  U  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) y )  <  s  -> 
( ( I `  x ) ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ( I `
 y ) )  <  r ) )
75 xpss12 5117 . . . . . . 7  |-  ( ( U  C_  X  /\  U  C_  X )  -> 
( U  X.  U
)  C_  ( X  X.  X ) )
7614, 14, 75mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( U  X.  U )  C_  ( X  X.  X
)
77 resabs1 5312 . . . . . 6  |-  ( ( U  X.  U ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  (
( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( U  X.  U
) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( U  X.  U
) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) )
79 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )
8013, 79xmsxmet 21085 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  R )  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( *Met `  X
) )
8124, 25, 26, 804syl 21 . . . . . 6  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( ( dist `  R )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
82 xmetres2 20990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  U  C_  X )  ->  (
( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( U  X.  U
) )  e.  ( *Met `  U
) )
8381, 14, 82sylancl 662 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( ( (
dist `  R )  |`  ( X  X.  X
) )  |`  ( U  X.  U ) )  e.  ( *Met `  U ) )
8478, 83syl5eqelr 2550 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) )  e.  ( *Met `  U ) )
85 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) )
8685, 85metcn 21172 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) )  e.  ( *Met `  U )  /\  (
( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) )  e.  ( *Met `  U
) )  ->  (
I  e.  ( (
MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) ) )  <->  ( I : U --> U  /\  A. x  e.  U  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) y )  <  s  -> 
( ( I `  x ) ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ( I `
 y ) )  <  r ) ) ) )
8784, 84, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( I  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ) )  <-> 
( I : U --> U  /\  A. x  e.  U  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( x ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) y )  <  s  ->  (
( I `  x
) ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U ) ) ( I `  y
) )  <  r
) ) ) )
889, 74, 87mpbir2and 922 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  I  e.  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ) ) )
89 nrginvrcn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
9089, 13, 79mstopn 21081 . . . . . 6  |-  ( R  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( X  X.  X
) ) ) )
9124, 25, 903syl 20 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
9291oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( Jt  U )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) ) )t  U ) )
9378eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) )  =  ( ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( U  X.  U
) )
94 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  R )  |`  ( X  X.  X
) ) )
9593, 94, 85metrest 21153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  U  C_  X )  ->  (
( MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( X  X.  X
) ) )t  U )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ) )
9681, 14, 95sylancl 662 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) ) )t  U )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  R
)  |`  ( U  X.  U ) ) ) )
9792, 96eqtrd 2498 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( Jt  U )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ) )
9897, 97oveq12d 6314 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( ( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  R )  |`  ( U  X.  U
) ) ) ) )
9988, 98eleqtrrd 2548 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  I  e.  ( ( Jt  U )  Cn  ( Jt  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   class class class wbr 4456    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   distcds 14721   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180  mulGrpcmgp 17268   1rcur 17280   Ringcrg 17325  Unitcui 17415   invrcinvr 17447  NzRingcnzr 18032   *Metcxmt 18530   MetOpencmopn 18535    Cn ccn 19852   *MetSpcxme 20946   MetSpcmt 20947   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224  NrmRingcnrg 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-rest 14840  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-xrs 14919  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-abv 17593  df-nzr 18033  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  21327
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