MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdir Structured version   Unicode version

Theorem nrgdsdir 21301
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
nmmul.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nmmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
nrgdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  R
)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdir  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A D B )  x.  ( N `  C
) )  =  ( ( A  .x.  C
) D ( B 
.x.  C ) ) )

Proof of Theorem nrgdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e. NrmRing )
2 nrgring 21298 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e.  Ring )
4 ringgrp 17330 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e.  Grp )
6 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
7 simpr2 1003 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
8 nmmul.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  R
)
9 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
108, 9grpsubcl 16245 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( -g `  R ) B )  e.  X )
115, 6, 7, 10syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( -g `  R ) B )  e.  X
)
12 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
13 nmmul.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  R
)
14 nmmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
158, 13, 14nmmul 21299 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A ( -g `  R
) B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A ( -g `  R
) B )  .x.  C ) )  =  ( ( N `  ( A ( -g `  R
) B ) )  x.  ( N `  C ) ) )
161, 11, 12, 15syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( N `  ( ( A (
-g `  R ) B )  .x.  C
) )  =  ( ( N `  ( A ( -g `  R
) B ) )  x.  ( N `  C ) ) )
178, 14, 9, 3, 6, 7, 12rngsubdir 17373 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A ( -g `  R
) B )  .x.  C )  =  ( ( A  .x.  C
) ( -g `  R
) ( B  .x.  C ) ) )
1817fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( N `  ( ( A (
-g `  R ) B )  .x.  C
) )  =  ( N `  ( ( A  .x.  C ) ( -g `  R
) ( B  .x.  C ) ) ) )
1916, 18eqtr3d 2500 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( N `  ( A
( -g `  R ) B ) )  x.  ( N `  C
) )  =  ( N `  ( ( A  .x.  C ) ( -g `  R
) ( B  .x.  C ) ) ) )
20 nrgngp 21297 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
2120adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e. NrmGrp )
22 nrgdsdi.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  R
)
2313, 8, 9, 22ngpds 21249 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( A ( -g `  R
) B ) ) )
2421, 6, 7, 23syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( A ( -g `  R
) B ) ) )
2524oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A D B )  x.  ( N `  C
) )  =  ( ( N `  ( A ( -g `  R
) B ) )  x.  ( N `  C ) ) )
268, 14ringcl 17339 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  .x.  C )  e.  X )
273, 6, 12, 26syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A  .x.  C )  e.  X
)
288, 14ringcl 17339 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B  .x.  C )  e.  X )
293, 7, 12, 28syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B  .x.  C )  e.  X
)
3013, 8, 9, 22ngpds 21249 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  ( A  .x.  C )  e.  X  /\  ( B 
.x.  C )  e.  X )  ->  (
( A  .x.  C
) D ( B 
.x.  C ) )  =  ( N `  ( ( A  .x.  C ) ( -g `  R ) ( B 
.x.  C ) ) ) )
3121, 27, 29, 30syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  .x.  C ) D ( B  .x.  C
) )  =  ( N `  ( ( A  .x.  C ) ( -g `  R
) ( B  .x.  C ) ) ) )
3219, 25, 313eqtr4d 2508 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A D B )  x.  ( N `  C
) )  =  ( ( A  .x.  C
) D ( B 
.x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    x. cmul 9514   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   distcds 14721   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182   Ringcrg 17325   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224  NrmRingcnrg 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-abv 17593  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator