MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Unicode version

Theorem nqpr 9438
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 9401 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  x  <Q  A )
2 abn0 3787 . . . . 5  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/)  <->  E. x  x  <Q  A )
31, 2sylibr 215 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
4 0pss 3836 . . . 4  |-  ( (/)  C. 
{ x  |  x 
<Q  A }  <->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
53, 4sylibr 215 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  (/)  C.  { x  |  x  <Q  A }
)
6 ltrelnq 9350 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4903 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  A  ->  ( x  e.  Q.  /\  A  e.  Q. ) )
87simpld 460 . . . . 5  |-  ( x 
<Q  A  ->  x  e. 
Q. )
98abssi 3542 . . . 4  |-  { x  |  x  <Q  A }  C_ 
Q.
10 ltsonq 9393 . . . . . . 7  |-  <Q  Or  Q.
1110, 6soirri 5246 . . . . . 6  |-  -.  A  <Q  A
12 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <Q  A  <->  A  <Q  A ) )
1312elabg 3225 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  A 
<Q  A ) )
1411, 13mtbiri 304 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
)
1514ancli 553 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  Q.  /\  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
16 ssnelpss 3863 . . . 4  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  C_  Q.  ->  ( ( A  e.  Q.  /\ 
-.  A  e.  {
x  |  x  <Q  A } )  ->  { x  |  x  <Q  A }  C. 
Q. ) )
179, 15, 16mpsyl 65 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  C. 
Q. )
185, 17jca 534 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
)
19 vex 3090 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
20 breq1 4429 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <Q  A  <->  y  <Q  A ) )
2119, 20elab 3224 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  y 
<Q  A )
2210, 6sotri 5247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  <Q  y  /\  y  <Q  A )  -> 
z  <Q  A )
2322expcom 436 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  ->  ( z 
<Q  y  ->  z  <Q  A ) )
2423adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  <Q  A )
)
25 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
26 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  A  <->  z  <Q  A ) )
2725, 26elab 3224 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  z 
<Q  A )
2824, 27syl6ibr 230 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
2928alrimiv 1766 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } ) )
30 ltbtwnnq 9402 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  <->  E. z ( y 
<Q  z  /\  z  <Q  A ) )
3127anbi2i 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  <->  ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A ) )
3231biimpri 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
3332ancomd 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3433eximi 1703 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A )  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3530, 34sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( y 
<Q  A  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3635adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z ( z  e. 
{ x  |  x 
<Q  A }  /\  y  <Q  z ) )
37 df-rex 2788 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z  <->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3836, 37sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z )
3929, 38jca 534 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( A. z ( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) )
4021, 39sylan2b 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  ->  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
4140ralrimiva 2846 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. y  e.  { x  |  x 
<Q  A }  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
42 elnp 9411 . 2  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )  /\  A. y  e.  {
x  |  x  <Q  A }  ( A. z
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) ) )
4318, 41, 42sylanbrc 668 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659    e. wcel 1870   {cab 2414    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442    C. wpss 3443   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   Q.cnq 9276    <Q cltq 9282   P.cnp 9283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ni 9296  df-pli 9297  df-mi 9298  df-lti 9299  df-plpq 9332  df-mpq 9333  df-ltpq 9334  df-enq 9335  df-nq 9336  df-erq 9337  df-plq 9338  df-mq 9339  df-1nq 9340  df-rq 9341  df-ltnq 9342  df-np 9405
This theorem is referenced by:  1pr  9439
  Copyright terms: Public domain W3C validator