MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Unicode version

Theorem nqpr 9392
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 9355 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  x  <Q  A )
2 abn0 3804 . . . . 5  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/)  <->  E. x  x  <Q  A )
31, 2sylibr 212 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
4 0pss 3864 . . . 4  |-  ( (/)  C. 
{ x  |  x 
<Q  A }  <->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
53, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  (/)  C.  { x  |  x  <Q  A }
)
6 ltrelnq 9304 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 5048 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  A  ->  ( x  e.  Q.  /\  A  e.  Q. ) )
87simpld 459 . . . . 5  |-  ( x 
<Q  A  ->  x  e. 
Q. )
98abssi 3575 . . . 4  |-  { x  |  x  <Q  A }  C_ 
Q.
10 ltsonq 9347 . . . . . . 7  |-  <Q  Or  Q.
1110, 6soirri 5393 . . . . . 6  |-  -.  A  <Q  A
12 breq1 4450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <Q  A  <->  A  <Q  A ) )
1312elabg 3251 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  A 
<Q  A ) )
1411, 13mtbiri 303 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
)
1514ancli 551 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  Q.  /\  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
16 ssnelpss 3890 . . . 4  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  C_  Q.  ->  ( ( A  e.  Q.  /\ 
-.  A  e.  {
x  |  x  <Q  A } )  ->  { x  |  x  <Q  A }  C. 
Q. ) )
179, 15, 16mpsyl 63 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  C. 
Q. )
185, 17jca 532 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
)
19 vex 3116 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
20 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <Q  A  <->  y  <Q  A ) )
2119, 20elab 3250 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  y 
<Q  A )
2210, 6sotri 5394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  <Q  y  /\  y  <Q  A )  -> 
z  <Q  A )
2322expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  ->  ( z 
<Q  y  ->  z  <Q  A ) )
2423adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  <Q  A )
)
25 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
26 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  A  <->  z  <Q  A ) )
2725, 26elab 3250 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  z 
<Q  A )
2824, 27syl6ibr 227 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
2928alrimiv 1695 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } ) )
30 ltbtwnnq 9356 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  <->  E. z ( y 
<Q  z  /\  z  <Q  A ) )
3127anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  <->  ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A ) )
3231biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
3332ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3433eximi 1635 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A )  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3530, 34sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( y 
<Q  A  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3635adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z ( z  e. 
{ x  |  x 
<Q  A }  /\  y  <Q  z ) )
37 df-rex 2820 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z  <->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3836, 37sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z )
3929, 38jca 532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( A. z ( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) )
4021, 39sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  ->  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
4140ralrimiva 2878 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. y  e.  { x  |  x 
<Q  A }  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
42 elnp 9365 . 2  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )  /\  A. y  e.  {
x  |  x  <Q  A }  ( A. z
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) ) )
4318, 41, 42sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476    C. wpss 3477   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   Q.cnq 9230    <Q cltq 9236   P.cnp 9237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ni 9250  df-pli 9251  df-mi 9252  df-lti 9253  df-plpq 9286  df-mpq 9287  df-ltpq 9288  df-enq 9289  df-nq 9290  df-erq 9291  df-plq 9292  df-mq 9293  df-1nq 9294  df-rq 9295  df-ltnq 9296  df-np 9359
This theorem is referenced by:  1pr  9393
  Copyright terms: Public domain W3C validator