Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Unicode version

Theorem nqpr 9438
 Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 9401 . . . . 5
2 abn0 3787 . . . . 5
31, 2sylibr 215 . . . 4
4 0pss 3836 . . . 4
53, 4sylibr 215 . . 3
6 ltrelnq 9350 . . . . . . 7
76brel 4903 . . . . . 6
87simpld 460 . . . . 5
98abssi 3542 . . . 4
10 ltsonq 9393 . . . . . . 7
1110, 6soirri 5246 . . . . . 6
12 breq1 4429 . . . . . . 7
1312elabg 3225 . . . . . 6
1411, 13mtbiri 304 . . . . 5
1514ancli 553 . . . 4
16 ssnelpss 3863 . . . 4
179, 15, 16mpsyl 65 . . 3
185, 17jca 534 . 2
19 vex 3090 . . . . 5
20 breq1 4429 . . . . 5
2119, 20elab 3224 . . . 4
2210, 6sotri 5247 . . . . . . . . 9
2322expcom 436 . . . . . . . 8
2423adantl 467 . . . . . . 7
25 vex 3090 . . . . . . . 8
26 breq1 4429 . . . . . . . 8
2725, 26elab 3224 . . . . . . 7
2824, 27syl6ibr 230 . . . . . 6
2928alrimiv 1766 . . . . 5
30 ltbtwnnq 9402 . . . . . . . 8
3127anbi2i 698 . . . . . . . . . . 11
3231biimpri 209 . . . . . . . . . 10
3332ancomd 452 . . . . . . . . 9
3433eximi 1703 . . . . . . . 8
3530, 34sylbi 198 . . . . . . 7
3635adantl 467 . . . . . 6
37 df-rex 2788 . . . . . 6
3836, 37sylibr 215 . . . . 5
3929, 38jca 534 . . . 4
4021, 39sylan2b 477 . . 3
4140ralrimiva 2846 . 2
42 elnp 9411 . 2
4318, 41, 42sylanbrc 668 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370  wal 1435  wex 1659   wcel 1870  cab 2414   wne 2625  wral 2782  wrex 2783   wss 3442   wpss 3443  c0 3767   class class class wbr 4426  cnq 9276   cltq 9282  cnp 9283 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ni 9296  df-pli 9297  df-mi 9298  df-lti 9299  df-plpq 9332  df-mpq 9333  df-ltpq 9334  df-enq 9335  df-nq 9336  df-erq 9337  df-plq 9338  df-mq 9339  df-1nq 9340  df-rq 9341  df-ltnq 9342  df-np 9405 This theorem is referenced by:  1pr  9439
 Copyright terms: Public domain W3C validator