MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerid Structured version   Unicode version

Theorem nqerid 9357
Description: Corollary of nqereu 9353: the function  /Q acts as the identity on members of  Q.. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerid  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )

Proof of Theorem nqerid
StepHypRef Expression
1 nqerf 9354 . . 3  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 ffun 5748 . . 3  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  ->  Fun  /Q )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  Fun  /Q
4 elpqn 9349 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
5 id 23 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  Q. )
6 enqer 9345 . . . . 5  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
87, 4erref 7391 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  ~Q  A )
9 df-erq 9337 . . . . 5  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
109breqi 4432 . . . 4  |-  ( A /Q A  <->  A (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) A )
11 brinxp2 4916 . . . 4  |-  ( A (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
1210, 11bitri 252 . . 3  |-  ( A /Q A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
134, 5, 8, 12syl3anbrc 1189 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A /Q A )
14 funbrfv 5919 . 2  |-  ( Fun 
/Q  ->  ( A /Q A  ->  ( /Q `  A )  =  A ) )
153, 13, 14mpsyl 65 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    i^i cin 3441   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601    Er wer 7368   N.cnpi 9268    ~Q ceq 9275   Q.cnq 9276   /Qcerq 9278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ni 9296  df-mi 9298  df-lti 9299  df-enq 9335  df-nq 9336  df-erq 9337  df-1nq 9340
This theorem is referenced by:  addassnq  9382  mulassnq  9383  distrnq  9385  mulidnq  9387  recmulnq  9388  1lt2nq  9397  ltexnq  9399  prlem934  9457
  Copyright terms: Public domain W3C validator