MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerid Structured version   Unicode version

Theorem nqerid 9216
Description: Corollary of nqereu 9212: the function  /Q acts as the identity on members of  Q.. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerid  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )

Proof of Theorem nqerid
StepHypRef Expression
1 nqerf 9213 . . 3  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 ffun 5672 . . 3  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  ->  Fun  /Q )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  Fun  /Q
4 elpqn 9208 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  Q. )
6 enqer 9204 . . . . 5  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
87, 4erref 7234 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  ~Q  A )
9 df-erq 9196 . . . . 5  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
109breqi 4409 . . . 4  |-  ( A /Q A  <->  A (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) A )
11 brinxp2 5011 . . . 4  |-  ( A (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
1210, 11bitri 249 . . 3  |-  ( A /Q A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
134, 5, 8, 12syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A /Q A )
14 funbrfv 5842 . 2  |-  ( Fun 
/Q  ->  ( A /Q A  ->  ( /Q `  A )  =  A ) )
153, 13, 14mpsyl 63 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3438   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   Fun wfun 5523   -->wf 5525   ` cfv 5529    Er wer 7211   N.cnpi 9125    ~Q ceq 9132   Q.cnq 9133   /Qcerq 9135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-ni 9155  df-mi 9157  df-lti 9158  df-enq 9194  df-nq 9195  df-erq 9196  df-1nq 9199
This theorem is referenced by:  addassnq  9241  mulassnq  9242  distrnq  9244  mulidnq  9246  recmulnq  9247  1lt2nq  9256  ltexnq  9258  prlem934  9316
  Copyright terms: Public domain W3C validator