MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerid Structured version   Unicode version

Theorem nqerid 9323
Description: Corollary of nqereu 9319: the function  /Q acts as the identity on members of  Q.. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerid  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )

Proof of Theorem nqerid
StepHypRef Expression
1 nqerf 9320 . . 3  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 ffun 5739 . . 3  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  ->  Fun  /Q )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  Fun  /Q
4 elpqn 9315 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  Q. )
6 enqer 9311 . . . . 5  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
87, 4erref 7343 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  ~Q  A )
9 df-erq 9303 . . . . 5  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
109breqi 4459 . . . 4  |-  ( A /Q A  <->  A (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) A )
11 brinxp2 5067 . . . 4  |-  ( A (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
1210, 11bitri 249 . . 3  |-  ( A /Q A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
134, 5, 8, 12syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A /Q A )
14 funbrfv 5912 . 2  |-  ( Fun 
/Q  ->  ( A /Q A  ->  ( /Q `  A )  =  A ) )
153, 13, 14mpsyl 63 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3480   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594    Er wer 7320   N.cnpi 9234    ~Q ceq 9241   Q.cnq 9242   /Qcerq 9244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ni 9262  df-mi 9264  df-lti 9265  df-enq 9301  df-nq 9302  df-erq 9303  df-1nq 9306
This theorem is referenced by:  addassnq  9348  mulassnq  9349  distrnq  9351  mulidnq  9353  recmulnq  9354  1lt2nq  9363  ltexnq  9365  prlem934  9423
  Copyright terms: Public domain W3C validator