Theorem nqerf 9091

Description: Corollary of nqereu 9090: the function /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerf	|- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Proof of Theorem nqerf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-erq 9074	. . . . . . 7 |- /Q = ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
2		inss2 3566	. . . . . . 7 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3381	. . . . . 6 |- /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
4		xpss 4941	. . . . . 6 |- ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ ( _V X. _V )
5	3, 4	sstri 3360	. . . . 5 |- /Q C_ ( _V X. _V )
6		df-rel 4842	. . . . 5 |- ( Rel /Q <-> /Q C_ ( _V X. _V ) )
7	5, 6	mpbir 209	. . . 4 |- Rel /Q
8		nqereu 9090	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E! y e. Q. y ~Q x )
9		df-reu 2717	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. Q. y ~Q x <-> E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
10		eumo 2284	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
11	9, 10	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
12	8, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
13		moanimv 2332	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
14	12, 13	mpbir 209	. . . . . 6 |- E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
15	3	brel 4882	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> x e. ( N. X. N. ) )
17	15	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y e. Q. )
18		enqer 9082	. . . . . . . . . 10 |- ~Q Er ( N. X. N. )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
20		inss1 3565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ~Q
21	1, 20	eqsstri 3381	. . . . . . . . . 10 |- /Q C_ ~Q
22	21	ssbri 4329	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> x ~Q y )
23	19, 22	ersym 7105	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y ~Q x )
24	16, 17, 23	jca32 535	. . . . . . 7 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
25	24	moimi 2318	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) -> E* y x /Q y )
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- E* y x /Q y
27	26	ax-gen 1591	. . . 4 |- A. x E* y x /Q y
28		dffun6 5428	. . . 4 |- ( Fun /Q <-> ( Rel /Q /\ A. x E* y x /Q y ) )
29	7, 27, 28	mpbir2an 911	. . 3 |- Fun /Q
30		dmss 5034	. . . . . 6 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. )
32		1nq 9089	. . . . . 6 |- 1Q e. Q.
33		ne0i 3638	. . . . . 6 |- ( 1Q e. Q. -> Q. =/= (/) )
34		dmxp 5053	. . . . . 6 |- ( Q. =/= (/) -> dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. ) )
35	32, 33, 34	mp2b 10	. . . . 5 |- dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. )
36	31, 35	sseqtri 3383	. . . 4 |- dom /Q C_ ( N. X. N. )
37		reurex 2932	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. y ~Q x )
38		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x e. ( N. X. N. ) )
39		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y e. Q. )
40	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
41		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y ~Q x )
42	40, 41	ersym 7105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x ~Q y )
43	1	breqi 4293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x /Q y <-> x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y )
44		brinxp2 4895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
45	43, 44	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( x /Q y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
46	38, 39, 42, 45	syl3anbrc 1172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x /Q y )
47	46	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) -> ( y ~Q x -> x /Q y ) )
48	47	reximdva 2823	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E. y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. x /Q y ) )
49		rexex 2770	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. x /Q y -> E. y x /Q y )
50	37, 48, 49	syl56 34	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y x /Q y ) )
51	8, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. y x /Q y )
52		vex 2970	. . . . . . 7 |- x e. _V
53	52	eldm 5032	. . . . . 6 |- ( x e. dom /Q <-> E. y x /Q y )
54	51, 53	sylibr 212	. . . . 5 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. dom /Q )
55	54	ssriv 3355	. . . 4 |- ( N. X. N. ) C_ dom /Q
56	36, 55	eqssi 3367	. . 3 |- dom /Q = ( N. X. N. )
57		df-fn 5416	. . 3 |- ( /Q Fn ( N. X. N. ) <-> ( Fun /Q /\ dom /Q = ( N. X. N. ) ) )
58	29, 56, 57	mpbir2an 911	. 2 |- /Q Fn ( N. X. N. )
59		rnss 5063	. . . 4 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
60	3, 59	ax-mp 5	. . 3 |- ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. )
61		rnxpss 5265	. . 3 |- ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ Q.
62	60, 61	sstri 3360	. 2 |- ran /Q C_ Q.
63		df-f 5417	. 2 |- ( /Q : ( N. X. N. ) --> Q. <-> ( /Q Fn ( N. X. N. ) /\ ran /Q C_ Q. ) )
64	58, 62, 63	mpbir2an 911	1 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E!weu 2252   E*wmo 2253   =/= wne 2601   E.wrex 2711   E!wreu 2712   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836   Rel wrel 4840   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   Er wer 7090   N.cnpi 9003   ~Q ceq 9010   Q.cnq 9011   1Qc1q 9012   /Qcerq 9013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ni 9033  df-mi 9035  df-lti 9036  df-enq 9072  df-nq 9073  df-erq 9074  df-1nq 9077

This theorem is referenced by:  nqercl  9092  nqerrel  9093  nqerid  9094  addnqf  9109  mulnqf  9110  adderpq  9117  mulerpq  9118  lterpq  9131