Theorem nqerf 9258

Description: Corollary of nqereu 9257: the function /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerf	|- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Proof of Theorem nqerf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-erq 9241	. . . . . . 7 |- /Q = ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
2		inss2 3659	. . . . . . 7 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3471	. . . . . 6 |- /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
4		xpss 5051	. . . . . 6 |- ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ ( _V X. _V )
5	3, 4	sstri 3450	. . . . 5 |- /Q C_ ( _V X. _V )
6		df-rel 4949	. . . . 5 |- ( Rel /Q <-> /Q C_ ( _V X. _V ) )
7	5, 6	mpbir 209	. . . 4 |- Rel /Q
8		nqereu 9257	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E! y e. Q. y ~Q x )
9		df-reu 2760	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. Q. y ~Q x <-> E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
10		eumo 2269	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
11	9, 10	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
13		moanimv 2303	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
14	12, 13	mpbir 209	. . . . . 6 |- E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
15	3	brel 4991	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) )
16	15	simpld 457	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> x e. ( N. X. N. ) )
17	15	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y e. Q. )
18		enqer 9249	. . . . . . . . . 10 |- ~Q Er ( N. X. N. )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
20		inss1 3658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ~Q
21	1, 20	eqsstri 3471	. . . . . . . . . 10 |- /Q C_ ~Q
22	21	ssbri 4436	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> x ~Q y )
23	19, 22	ersym 7280	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y ~Q x )
24	16, 17, 23	jca32 533	. . . . . . 7 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
25	24	moimi 2292	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) -> E* y x /Q y )
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- E* y x /Q y
27	26	ax-gen 1639	. . . 4 |- A. x E* y x /Q y
28		dffun6 5540	. . . 4 |- ( Fun /Q <-> ( Rel /Q /\ A. x E* y x /Q y ) )
29	7, 27, 28	mpbir2an 921	. . 3 |- Fun /Q
30		dmss 5144	. . . . . 6 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. )
32		1nq 9256	. . . . . 6 |- 1Q e. Q.
33		ne0i 3743	. . . . . 6 |- ( 1Q e. Q. -> Q. =/= (/) )
34		dmxp 5163	. . . . . 6 |- ( Q. =/= (/) -> dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. ) )
35	32, 33, 34	mp2b 10	. . . . 5 |- dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. )
36	31, 35	sseqtri 3473	. . . 4 |- dom /Q C_ ( N. X. N. )
37		reurex 3023	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. y ~Q x )
38		simpll 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x e. ( N. X. N. ) )
39		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y e. Q. )
40	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
41		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y ~Q x )
42	40, 41	ersym 7280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x ~Q y )
43	1	breqi 4400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x /Q y <-> x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y )
44		brinxp2 5004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
45	43, 44	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( x /Q y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
46	38, 39, 42, 45	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x /Q y )
47	46	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) -> ( y ~Q x -> x /Q y ) )
48	47	reximdva 2878	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E. y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. x /Q y ) )
49		rexex 2860	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. x /Q y -> E. y x /Q y )
50	37, 48, 49	syl56 32	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y x /Q y ) )
51	8, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. y x /Q y )
52		vex 3061	. . . . . . 7 |- x e. _V
53	52	eldm 5142	. . . . . 6 |- ( x e. dom /Q <-> E. y x /Q y )
54	51, 53	sylibr 212	. . . . 5 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. dom /Q )
55	54	ssriv 3445	. . . 4 |- ( N. X. N. ) C_ dom /Q
56	36, 55	eqssi 3457	. . 3 |- dom /Q = ( N. X. N. )
57		df-fn 5528	. . 3 |- ( /Q Fn ( N. X. N. ) <-> ( Fun /Q /\ dom /Q = ( N. X. N. ) ) )
58	29, 56, 57	mpbir2an 921	. 2 |- /Q Fn ( N. X. N. )
59		rnss 5173	. . . 4 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
60	3, 59	ax-mp 5	. . 3 |- ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. )
61		rnxpss 5378	. . 3 |- ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ Q.
62	60, 61	sstri 3450	. 2 |- ran /Q C_ Q.
63		df-f 5529	. 2 |- ( /Q : ( N. X. N. ) --> Q. <-> ( /Q Fn ( N. X. N. ) /\ ran /Q C_ Q. ) )
64	58, 62, 63	mpbir2an 921	1 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   A.wal 1403   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   E!weu 2238   E*wmo 2239   =/= wne 2598   E.wrex 2754   E!wreu 2755   _Vcvv 3058   i^i cin 3412   C_ wss 3413   (/)c0 3737   class class class wbr 4394   X. cxp 4940   dom cdm 4942   ran crn 4943   Rel wrel 4947   Fun wfun 5519   Fn wfn 5520   -->wf 5521   Er wer 7265   N.cnpi 9172   ~Q ceq 9179   Q.cnq 9180   1Qc1q 9181   /Qcerq 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-ni 9200  df-mi 9202  df-lti 9203  df-enq 9239  df-nq 9240  df-erq 9241  df-1nq 9244

This theorem is referenced by:  nqercl  9259  nqerrel  9260  nqerid  9261  addnqf  9276  mulnqf  9277  adderpq  9284  mulerpq  9285  lterpq  9298