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Theorem nqerf 9357
Description: Corollary of nqereu 9356: the function  /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 9340 . . . . . . 7  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
2 inss2 3684 . . . . . . 7  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ( ( N.  X.  N. )  X. 
Q. )
31, 2eqsstri 3495 . . . . . 6  |-  /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
4 xpss 4958 . . . . . 6  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  ( _V  X.  _V )
53, 4sstri 3474 . . . . 5  |-  /Q  C_  ( _V  X.  _V )
6 df-rel 4858 . . . . 5  |-  ( Rel 
/Q 
<->  /Q  C_  ( _V  X.  _V ) )
75, 6mpbir 213 . . . 4  |-  Rel  /Q
8 nqereu 9356 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E! y  e.  Q.  y  ~Q  x )
9 df-reu 2783 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  <->  E! y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
10 eumo 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x )  ->  E* y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )
119, 10sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
128, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
13 moanimv 2328 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
1412, 13mpbir 213 . . . . . 6  |-  E* y
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
153brel 4900 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. ) )
1615simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
1715simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  e.  Q. )
18 enqer 9348 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
20 inss1 3683 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ~Q
211, 20eqsstri 3495 . . . . . . . . . 10  |-  /Q  C_  ~Q
2221ssbri 4464 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  x  ~Q  y )
2319, 22ersym 7381 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  ~Q  x )
2416, 17, 23jca32 538 . . . . . . 7  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
2524moimi 2317 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  ->  E* y  x /Q y )
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  E* y  x /Q y
2726ax-gen 1666 . . . 4  |-  A. x E* y  x /Q y
28 dffun6 5614 . . . 4  |-  ( Fun 
/Q 
<->  ( Rel  /Q  /\  A. x E* y  x /Q y ) )
297, 27, 28mpbir2an 929 . . 3  |-  Fun  /Q
30 dmss 5051 . . . . . 6  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  dom  /Q  C_  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
313, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  /Q  C_ 
dom  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
32 1nq 9355 . . . . . 6  |-  1Q  e.  Q.
33 ne0i 3768 . . . . . 6  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  Q.  =/=  (/) )
34 dmxp 5070 . . . . . 6  |-  ( Q.  =/=  (/)  ->  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
)
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5  |-  dom  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
3631, 35sseqtri 3497 . . . 4  |-  dom  /Q  C_  ( N.  X.  N. )
37 reurex 3046 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  y  ~Q  x
)
38 simpll 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 simplr 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  e.  Q. )
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. ) )
41 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  ~Q  x )
4240, 41ersym 7381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  ~Q  y )
431breqi 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x /Q y  <->  x (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) y )
44 brinxp2 4913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4543, 44bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x /Q y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4638, 39, 42, 45syl3anbrc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x /Q y )
4746ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  ->  (
y  ~Q  x  ->  x /Q y ) )
4847reximdva 2901 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E. y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  x /Q y
) )
49 rexex 2883 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  Q.  x /Q y  ->  E. y  x /Q y )
5037, 48, 49syl56 36 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  x /Q y ) )
518, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. y  x /Q y )
52 vex 3085 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5352eldm 5049 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  /Q  <->  E. y  x /Q y )
5451, 53sylibr 216 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  e. 
dom  /Q )
5554ssriv 3469 . . . 4  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  dom  /Q
5636, 55eqssi 3481 . . 3  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
57 df-fn 5602 . . 3  |-  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  <->  ( Fun  /Q  /\ 
dom  /Q  =  ( N.  X.  N. ) ) )
5829, 56, 57mpbir2an 929 . 2  |-  /Q  Fn  ( N.  X.  N. )
59 rnss 5080 . . . 4  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  ran  /Q  C_  ran  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
603, 59ax-mp 5 . . 3  |-  ran  /Q  C_ 
ran  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
61 rnxpss 5286 . . 3  |-  ran  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  Q.
6260, 61sstri 3474 . 2  |-  ran  /Q  C_ 
Q.
63 df-f 5603 . 2  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  <->  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  /\  ran  /Q  C_  Q. ) )
6458, 62, 63mpbir2an 929 1  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983   A.wal 1436    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   E!weu 2266   E*wmo 2267    =/= wne 2619   E.wrex 2777   E!wreu 2778   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   class class class wbr 4421    X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852   Rel wrel 4856   Fun wfun 5593    Fn wfn 5594   -->wf 5595    Er wer 7366   N.cnpi 9271    ~Q ceq 9278   Q.cnq 9279   1Qc1q 9280   /Qcerq 9281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-ni 9299  df-mi 9301  df-lti 9302  df-enq 9338  df-nq 9339  df-erq 9340  df-1nq 9343
This theorem is referenced by:  nqercl  9358  nqerrel  9359  nqerid  9360  addnqf  9375  mulnqf  9376  adderpq  9383  mulerpq  9384  lterpq  9397
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