Theorem nqerf 8763

Description: Corollary of nqereu 8762: the function /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerf	|- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Proof of Theorem nqerf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-erq 8746	. . . . . . 7 |- /Q = ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
2		inss2 3522	. . . . . . 7 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3338	. . . . . 6 |- /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
4		xpss 4941	. . . . . 6 |- ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ ( _V X. _V )
5	3, 4	sstri 3317	. . . . 5 |- /Q C_ ( _V X. _V )
6		df-rel 4844	. . . . 5 |- ( Rel /Q <-> /Q C_ ( _V X. _V ) )
7	5, 6	mpbir 201	. . . 4 |- Rel /Q
8		nqereu 8762	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E! y e. Q. y ~Q x )
9		df-reu 2673	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. Q. y ~Q x <-> E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
10		eumo 2294	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
11	9, 10	sylbi 188	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
12	8, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
13		moanimv 2312	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
14	12, 13	mpbir 201	. . . . . 6 |- E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
15	3	brel 4885	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) )
16	15	simpld 446	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> x e. ( N. X. N. ) )
17	15	simprd 450	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y e. Q. )
18		enqer 8754	. . . . . . . . . 10 |- ~Q Er ( N. X. N. )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
20		inss1 3521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ~Q
21	1, 20	eqsstri 3338	. . . . . . . . . 10 |- /Q C_ ~Q
22	21	ssbri 4214	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> x ~Q y )
23	19, 22	ersym 6876	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y ~Q x )
24	16, 17, 23	jca32 522	. . . . . . 7 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
25	24	moimi 2301	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) -> E* y x /Q y )
26	14, 25	ax-mp 8	. . . . 5 |- E* y x /Q y
27	26	ax-gen 1552	. . . 4 |- A. x E* y x /Q y
28		dffun6 5428	. . . 4 |- ( Fun /Q <-> ( Rel /Q /\ A. x E* y x /Q y ) )
29	7, 27, 28	mpbir2an 887	. . 3 |- Fun /Q
30		dmss 5028	. . . . . 6 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
31	3, 30	ax-mp 8	. . . . 5 |- dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. )
32		1nq 8761	. . . . . 6 |- 1Q e. Q.
33		ne0i 3594	. . . . . 6 |- ( 1Q e. Q. -> Q. =/= (/) )
34		dmxp 5047	. . . . . 6 |- ( Q. =/= (/) -> dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. ) )
35	32, 33, 34	mp2b 10	. . . . 5 |- dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. )
36	31, 35	sseqtri 3340	. . . 4 |- dom /Q C_ ( N. X. N. )
37		reurex 2882	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. y ~Q x )
38		simpll 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x e. ( N. X. N. ) )
39		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y e. Q. )
40	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
41		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y ~Q x )
42	40, 41	ersym 6876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x ~Q y )
43	1	breqi 4178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x /Q y <-> x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y )
44		brinxp2 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
45	43, 44	bitri 241	. . . . . . . . . . 11 |- ( x /Q y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
46	38, 39, 42, 45	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x /Q y )
47	46	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) -> ( y ~Q x -> x /Q y ) )
48	47	reximdva 2778	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E. y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. x /Q y ) )
49		rexex 2725	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. x /Q y -> E. y x /Q y )
50	37, 48, 49	syl56 32	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y x /Q y ) )
51	8, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. y x /Q y )
52		vex 2919	. . . . . . 7 |- x e. _V
53	52	eldm 5026	. . . . . 6 |- ( x e. dom /Q <-> E. y x /Q y )
54	51, 53	sylibr 204	. . . . 5 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. dom /Q )
55	54	ssriv 3312	. . . 4 |- ( N. X. N. ) C_ dom /Q
56	36, 55	eqssi 3324	. . 3 |- dom /Q = ( N. X. N. )
57		df-fn 5416	. . 3 |- ( /Q Fn ( N. X. N. ) <-> ( Fun /Q /\ dom /Q = ( N. X. N. ) ) )
58	29, 56, 57	mpbir2an 887	. 2 |- /Q Fn ( N. X. N. )
59		rnss 5057	. . . 4 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
60	3, 59	ax-mp 8	. . 3 |- ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. )
61		rnxpss 5260	. . 3 |- ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ Q.
62	60, 61	sstri 3317	. 2 |- ran /Q C_ Q.
63		df-f 5417	. 2 |- ( /Q : ( N. X. N. ) --> Q. <-> ( /Q Fn ( N. X. N. ) /\ ran /Q C_ Q. ) )
64	58, 62, 63	mpbir2an 887	1 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E!weu 2254   E*wmo 2255   =/= wne 2567   E.wrex 2667   E!wreu 2668   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   Er wer 6861   N.cnpi 8675   ~Q ceq 8682   Q.cnq 8683   1Qc1q 8684   /Qcerq 8685

This theorem is referenced by:  nqercl  8764  nqerrel  8765  nqerid  8766  addnqf  8781  mulnqf  8782  adderpq  8789  mulerpq  8790  lterpq  8803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-mi 8707  df-lti 8708  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-1nq 8749