Theorem nqerf 9355

Description: Corollary of nqereu 9354: the function /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerf	|- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Proof of Theorem nqerf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-erq 9338	. . . . . . 7 |- /Q = ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
2		inss2 3653	. . . . . . 7 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3462	. . . . . 6 |- /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
4		xpss 4941	. . . . . 6 |- ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ ( _V X. _V )
5	3, 4	sstri 3441	. . . . 5 |- /Q C_ ( _V X. _V )
6		df-rel 4841	. . . . 5 |- ( Rel /Q <-> /Q C_ ( _V X. _V ) )
7	5, 6	mpbir 213	. . . 4 |- Rel /Q
8		nqereu 9354	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E! y e. Q. y ~Q x )
9		df-reu 2744	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. Q. y ~Q x <-> E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
10		eumo 2328	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
11	9, 10	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
13		moanimv 2360	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
14	12, 13	mpbir 213	. . . . . 6 |- E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
15	3	brel 4883	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) )
16	15	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> x e. ( N. X. N. ) )
17	15	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y e. Q. )
18		enqer 9346	. . . . . . . . . 10 |- ~Q Er ( N. X. N. )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
20		inss1 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ~Q
21	1, 20	eqsstri 3462	. . . . . . . . . 10 |- /Q C_ ~Q
22	21	ssbri 4445	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> x ~Q y )
23	19, 22	ersym 7375	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y ~Q x )
24	16, 17, 23	jca32 538	. . . . . . 7 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
25	24	moimi 2349	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) -> E* y x /Q y )
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- E* y x /Q y
27	26	ax-gen 1669	. . . 4 |- A. x E* y x /Q y
28		dffun6 5597	. . . 4 |- ( Fun /Q <-> ( Rel /Q /\ A. x E* y x /Q y ) )
29	7, 27, 28	mpbir2an 931	. . 3 |- Fun /Q
30		dmss 5034	. . . . . 6 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. )
32		1nq 9353	. . . . . 6 |- 1Q e. Q.
33		ne0i 3737	. . . . . 6 |- ( 1Q e. Q. -> Q. =/= (/) )
34		dmxp 5053	. . . . . 6 |- ( Q. =/= (/) -> dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. ) )
35	32, 33, 34	mp2b 10	. . . . 5 |- dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. )
36	31, 35	sseqtri 3464	. . . 4 |- dom /Q C_ ( N. X. N. )
37		reurex 3009	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. y ~Q x )
38		simpll 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x e. ( N. X. N. ) )
39		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y e. Q. )
40	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
41		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y ~Q x )
42	40, 41	ersym 7375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x ~Q y )
43	1	breqi 4408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x /Q y <-> x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y )
44		brinxp2 4896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
45	43, 44	bitri 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( x /Q y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
46	38, 39, 42, 45	syl3anbrc 1192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x /Q y )
47	46	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) -> ( y ~Q x -> x /Q y ) )
48	47	reximdva 2862	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E. y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. x /Q y ) )
49		rexex 2844	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. x /Q y -> E. y x /Q y )
50	37, 48, 49	syl56 35	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y x /Q y ) )
51	8, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. y x /Q y )
52		vex 3048	. . . . . . 7 |- x e. _V
53	52	eldm 5032	. . . . . 6 |- ( x e. dom /Q <-> E. y x /Q y )
54	51, 53	sylibr 216	. . . . 5 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. dom /Q )
55	54	ssriv 3436	. . . 4 |- ( N. X. N. ) C_ dom /Q
56	36, 55	eqssi 3448	. . 3 |- dom /Q = ( N. X. N. )
57		df-fn 5585	. . 3 |- ( /Q Fn ( N. X. N. ) <-> ( Fun /Q /\ dom /Q = ( N. X. N. ) ) )
58	29, 56, 57	mpbir2an 931	. 2 |- /Q Fn ( N. X. N. )
59		rnss 5063	. . . 4 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
60	3, 59	ax-mp 5	. . 3 |- ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. )
61		rnxpss 5269	. . 3 |- ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ Q.
62	60, 61	sstri 3441	. 2 |- ran /Q C_ Q.
63		df-f 5586	. 2 |- ( /Q : ( N. X. N. ) --> Q. <-> ( /Q Fn ( N. X. N. ) /\ ran /Q C_ Q. ) )
64	58, 62, 63	mpbir2an 931	1 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   E!weu 2299   E*wmo 2300   =/= wne 2622   E.wrex 2738   E!wreu 2739   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   Er wer 7360   N.cnpi 9269   ~Q ceq 9276   Q.cnq 9277   1Qc1q 9278   /Qcerq 9279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-ni 9297  df-mi 9299  df-lti 9300  df-enq 9336  df-nq 9337  df-erq 9338  df-1nq 9341

This theorem is referenced by:  nqercl  9356  nqerrel  9357  nqerid  9358  addnqf  9373  mulnqf  9374  adderpq  9381  mulerpq  9382  lterpq  9395