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Theorem nqerf 9258
Description: Corollary of nqereu 9257: the function  /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 9241 . . . . . . 7  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
2 inss2 3659 . . . . . . 7  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ( ( N.  X.  N. )  X. 
Q. )
31, 2eqsstri 3471 . . . . . 6  |-  /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
4 xpss 5051 . . . . . 6  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  ( _V  X.  _V )
53, 4sstri 3450 . . . . 5  |-  /Q  C_  ( _V  X.  _V )
6 df-rel 4949 . . . . 5  |-  ( Rel 
/Q 
<->  /Q  C_  ( _V  X.  _V ) )
75, 6mpbir 209 . . . 4  |-  Rel  /Q
8 nqereu 9257 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E! y  e.  Q.  y  ~Q  x )
9 df-reu 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  <->  E! y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
10 eumo 2269 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x )  ->  E* y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )
119, 10sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
128, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
13 moanimv 2303 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
1412, 13mpbir 209 . . . . . 6  |-  E* y
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
153brel 4991 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. ) )
1615simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
1715simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  e.  Q. )
18 enqer 9249 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
20 inss1 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ~Q
211, 20eqsstri 3471 . . . . . . . . . 10  |-  /Q  C_  ~Q
2221ssbri 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  x  ~Q  y )
2319, 22ersym 7280 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  ~Q  x )
2416, 17, 23jca32 533 . . . . . . 7  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
2524moimi 2292 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  ->  E* y  x /Q y )
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  E* y  x /Q y
2726ax-gen 1639 . . . 4  |-  A. x E* y  x /Q y
28 dffun6 5540 . . . 4  |-  ( Fun 
/Q 
<->  ( Rel  /Q  /\  A. x E* y  x /Q y ) )
297, 27, 28mpbir2an 921 . . 3  |-  Fun  /Q
30 dmss 5144 . . . . . 6  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  dom  /Q  C_  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
313, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  /Q  C_ 
dom  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
32 1nq 9256 . . . . . 6  |-  1Q  e.  Q.
33 ne0i 3743 . . . . . 6  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  Q.  =/=  (/) )
34 dmxp 5163 . . . . . 6  |-  ( Q.  =/=  (/)  ->  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
)
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5  |-  dom  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
3631, 35sseqtri 3473 . . . 4  |-  dom  /Q  C_  ( N.  X.  N. )
37 reurex 3023 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  y  ~Q  x
)
38 simpll 752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  e.  Q. )
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. ) )
41 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  ~Q  x )
4240, 41ersym 7280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  ~Q  y )
431breqi 4400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x /Q y  <->  x (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) y )
44 brinxp2 5004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4543, 44bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x /Q y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4638, 39, 42, 45syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x /Q y )
4746ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  ->  (
y  ~Q  x  ->  x /Q y ) )
4847reximdva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E. y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  x /Q y
) )
49 rexex 2860 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  Q.  x /Q y  ->  E. y  x /Q y )
5037, 48, 49syl56 32 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  x /Q y ) )
518, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. y  x /Q y )
52 vex 3061 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5352eldm 5142 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  /Q  <->  E. y  x /Q y )
5451, 53sylibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  e. 
dom  /Q )
5554ssriv 3445 . . . 4  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  dom  /Q
5636, 55eqssi 3457 . . 3  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
57 df-fn 5528 . . 3  |-  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  <->  ( Fun  /Q  /\ 
dom  /Q  =  ( N.  X.  N. ) ) )
5829, 56, 57mpbir2an 921 . 2  |-  /Q  Fn  ( N.  X.  N. )
59 rnss 5173 . . . 4  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  ran  /Q  C_  ran  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
603, 59ax-mp 5 . . 3  |-  ran  /Q  C_ 
ran  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
61 rnxpss 5378 . . 3  |-  ran  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  Q.
6260, 61sstri 3450 . 2  |-  ran  /Q  C_ 
Q.
63 df-f 5529 . 2  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  <->  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  /\  ran  /Q  C_  Q. ) )
6458, 62, 63mpbir2an 921 1  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   E!weu 2238   E*wmo 2239    =/= wne 2598   E.wrex 2754   E!wreu 2755   _Vcvv 3058    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   class class class wbr 4394    X. cxp 4940   dom cdm 4942   ran crn 4943   Rel wrel 4947   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   -->wf 5521    Er wer 7265   N.cnpi 9172    ~Q ceq 9179   Q.cnq 9180   1Qc1q 9181   /Qcerq 9182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-ni 9200  df-mi 9202  df-lti 9203  df-enq 9239  df-nq 9240  df-erq 9241  df-1nq 9244
This theorem is referenced by:  nqercl  9259  nqerrel  9260  nqerid  9261  addnqf  9276  mulnqf  9277  adderpq  9284  mulerpq  9285  lterpq  9298
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