Theorem nqerf 9373

Description: Corollary of nqereu 9372: the function /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerf	|- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Proof of Theorem nqerf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-erq 9356	. . . . . . 7 |- /Q = ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
2		inss2 3644	. . . . . . 7 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3448	. . . . . 6 |- /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. )
4		xpss 4946	. . . . . 6 |- ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ ( _V X. _V )
5	3, 4	sstri 3427	. . . . 5 |- /Q C_ ( _V X. _V )
6		df-rel 4846	. . . . 5 |- ( Rel /Q <-> /Q C_ ( _V X. _V ) )
7	5, 6	mpbir 214	. . . 4 |- Rel /Q
8		nqereu 9372	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E! y e. Q. y ~Q x )
9		df-reu 2763	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. Q. y ~Q x <-> E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
10		eumo 2348	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
11	9, 10	sylbi 200	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
13		moanimv 2380	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) -> E* y ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
14	12, 13	mpbir 214	. . . . . 6 |- E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) )
15	3	brel 4888	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) )
16	15	simpld 466	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> x e. ( N. X. N. ) )
17	15	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y e. Q. )
18		enqer 9364	. . . . . . . . . 10 |- ~Q Er ( N. X. N. )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
20		inss1 3643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) C_ ~Q
21	1, 20	eqsstri 3448	. . . . . . . . . 10 |- /Q C_ ~Q
22	21	ssbri 4438	. . . . . . . . 9 |- ( x /Q y -> x ~Q y )
23	19, 22	ersym 7393	. . . . . . . 8 |- ( x /Q y -> y ~Q x )
24	16, 17, 23	jca32 544	. . . . . . 7 |- ( x /Q y -> ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) )
25	24	moimi 2369	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. ( N. X. N. ) /\ ( y e. Q. /\ y ~Q x ) ) -> E* y x /Q y )
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- E* y x /Q y
27	26	ax-gen 1677	. . . 4 |- A. x E* y x /Q y
28		dffun6 5604	. . . 4 |- ( Fun /Q <-> ( Rel /Q /\ A. x E* y x /Q y ) )
29	7, 27, 28	mpbir2an 934	. . 3 |- Fun /Q
30		dmss 5039	. . . . . 6 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom /Q C_ dom ( ( N. X. N. ) X. Q. )
32		1nq 9371	. . . . . 6 |- 1Q e. Q.
33		ne0i 3728	. . . . . 6 |- ( 1Q e. Q. -> Q. =/= (/) )
34		dmxp 5059	. . . . . 6 |- ( Q. =/= (/) -> dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. ) )
35	32, 33, 34	mp2b 10	. . . . 5 |- dom ( ( N. X. N. ) X. Q. ) = ( N. X. N. )
36	31, 35	sseqtri 3450	. . . 4 |- dom /Q C_ ( N. X. N. )
37		reurex 2995	. . . . . . . 8 |- ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. y ~Q x )
38		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x e. ( N. X. N. ) )
39		simplr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y e. Q. )
40	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
41		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> y ~Q x )
42	40, 41	ersym 7393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x ~Q y )
43	1	breqi 4401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x /Q y <-> x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y )
44		brinxp2 4901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( ~Q i^i ( ( N. X. N. ) X. Q. ) ) y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
45	43, 44	bitri 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( x /Q y <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. /\ x ~Q y ) )
46	38, 39, 42, 45	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) /\ y ~Q x ) -> x /Q y )
47	46	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. Q. ) -> ( y ~Q x -> x /Q y ) )
48	47	reximdva 2858	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E. y e. Q. y ~Q x -> E. y e. Q. x /Q y ) )
49		rexex 2843	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. x /Q y -> E. y x /Q y )
50	37, 48, 49	syl56 34	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> ( E! y e. Q. y ~Q x -> E. y x /Q y ) )
51	8, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. y x /Q y )
52		vex 3034	. . . . . . 7 |- x e. _V
53	52	eldm 5037	. . . . . 6 |- ( x e. dom /Q <-> E. y x /Q y )
54	51, 53	sylibr 217	. . . . 5 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. dom /Q )
55	54	ssriv 3422	. . . 4 |- ( N. X. N. ) C_ dom /Q
56	36, 55	eqssi 3434	. . 3 |- dom /Q = ( N. X. N. )
57		df-fn 5592	. . 3 |- ( /Q Fn ( N. X. N. ) <-> ( Fun /Q /\ dom /Q = ( N. X. N. ) ) )
58	29, 56, 57	mpbir2an 934	. 2 |- /Q Fn ( N. X. N. )
59		rnss 5069	. . . 4 |- ( /Q C_ ( ( N. X. N. ) X. Q. ) -> ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) )
60	3, 59	ax-mp 5	. . 3 |- ran /Q C_ ran ( ( N. X. N. ) X. Q. )
61		rnxpss 5275	. . 3 |- ran ( ( N. X. N. ) X. Q. ) C_ Q.
62	60, 61	sstri 3427	. 2 |- ran /Q C_ Q.
63		df-f 5593	. 2 |- ( /Q : ( N. X. N. ) --> Q. <-> ( /Q Fn ( N. X. N. ) /\ ran /Q C_ Q. ) )
64	58, 62, 63	mpbir2an 934	1 |- /Q : ( N. X. N. ) --> Q.

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   E!weu 2319   E*wmo 2320   =/= wne 2641   E.wrex 2757   E!wreu 2758   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   Er wer 7378   N.cnpi 9287   ~Q ceq 9294   Q.cnq 9295   1Qc1q 9296   /Qcerq 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-mi 9317  df-lti 9318  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-1nq 9359

This theorem is referenced by:  nqercl  9374  nqerrel  9375  nqerid  9376  addnqf  9391  mulnqf  9392  adderpq  9399  mulerpq  9400  lterpq  9413