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Theorem nqerf 9373
Description: Corollary of nqereu 9372: the function  /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 9356 . . . . . . 7  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
2 inss2 3644 . . . . . . 7  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ( ( N.  X.  N. )  X. 
Q. )
31, 2eqsstri 3448 . . . . . 6  |-  /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
4 xpss 4946 . . . . . 6  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  ( _V  X.  _V )
53, 4sstri 3427 . . . . 5  |-  /Q  C_  ( _V  X.  _V )
6 df-rel 4846 . . . . 5  |-  ( Rel 
/Q 
<->  /Q  C_  ( _V  X.  _V ) )
75, 6mpbir 214 . . . 4  |-  Rel  /Q
8 nqereu 9372 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E! y  e.  Q.  y  ~Q  x )
9 df-reu 2763 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  <->  E! y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
10 eumo 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x )  ->  E* y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )
119, 10sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
128, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
13 moanimv 2380 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
1412, 13mpbir 214 . . . . . 6  |-  E* y
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
153brel 4888 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. ) )
1615simpld 466 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
1715simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  e.  Q. )
18 enqer 9364 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
20 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ~Q
211, 20eqsstri 3448 . . . . . . . . . 10  |-  /Q  C_  ~Q
2221ssbri 4438 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  x  ~Q  y )
2319, 22ersym 7393 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  ~Q  x )
2416, 17, 23jca32 544 . . . . . . 7  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
2524moimi 2369 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  ->  E* y  x /Q y )
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  E* y  x /Q y
2726ax-gen 1677 . . . 4  |-  A. x E* y  x /Q y
28 dffun6 5604 . . . 4  |-  ( Fun 
/Q 
<->  ( Rel  /Q  /\  A. x E* y  x /Q y ) )
297, 27, 28mpbir2an 934 . . 3  |-  Fun  /Q
30 dmss 5039 . . . . . 6  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  dom  /Q  C_  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
313, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  /Q  C_ 
dom  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
32 1nq 9371 . . . . . 6  |-  1Q  e.  Q.
33 ne0i 3728 . . . . . 6  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  Q.  =/=  (/) )
34 dmxp 5059 . . . . . 6  |-  ( Q.  =/=  (/)  ->  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
)
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5  |-  dom  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
3631, 35sseqtri 3450 . . . 4  |-  dom  /Q  C_  ( N.  X.  N. )
37 reurex 2995 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  y  ~Q  x
)
38 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 simplr 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  e.  Q. )
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. ) )
41 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  ~Q  x )
4240, 41ersym 7393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  ~Q  y )
431breqi 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x /Q y  <->  x (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) y )
44 brinxp2 4901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4543, 44bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x /Q y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4638, 39, 42, 45syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x /Q y )
4746ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  ->  (
y  ~Q  x  ->  x /Q y ) )
4847reximdva 2858 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E. y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  x /Q y
) )
49 rexex 2843 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  Q.  x /Q y  ->  E. y  x /Q y )
5037, 48, 49syl56 34 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  x /Q y ) )
518, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. y  x /Q y )
52 vex 3034 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5352eldm 5037 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  /Q  <->  E. y  x /Q y )
5451, 53sylibr 217 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  e. 
dom  /Q )
5554ssriv 3422 . . . 4  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  dom  /Q
5636, 55eqssi 3434 . . 3  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
57 df-fn 5592 . . 3  |-  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  <->  ( Fun  /Q  /\ 
dom  /Q  =  ( N.  X.  N. ) ) )
5829, 56, 57mpbir2an 934 . 2  |-  /Q  Fn  ( N.  X.  N. )
59 rnss 5069 . . . 4  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  ran  /Q  C_  ran  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
603, 59ax-mp 5 . . 3  |-  ran  /Q  C_ 
ran  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
61 rnxpss 5275 . . 3  |-  ran  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  Q.
6260, 61sstri 3427 . 2  |-  ran  /Q  C_ 
Q.
63 df-f 5593 . 2  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  <->  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  /\  ran  /Q  C_  Q. ) )
6458, 62, 63mpbir2an 934 1  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E!weu 2319   E*wmo 2320    =/= wne 2641   E.wrex 2757   E!wreu 2758   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585    Er wer 7378   N.cnpi 9287    ~Q ceq 9294   Q.cnq 9295   1Qc1q 9296   /Qcerq 9297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-mi 9317  df-lti 9318  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-1nq 9359
This theorem is referenced by:  nqercl  9374  nqerrel  9375  nqerid  9376  addnqf  9391  mulnqf  9392  adderpq  9399  mulerpq  9400  lterpq  9413
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