MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nprmi Structured version   Unicode version

Theorem nprmi 14080
Description: An inference for compositeness. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nprmi.1  |-  A  e.  NN
nprmi.2  |-  B  e.  NN
nprmi.3  |-  1  <  A
nprmi.4  |-  1  <  B
nprmi.5  |-  ( A  x.  B )  =  N
Assertion
Ref Expression
nprmi  |-  -.  N  e.  Prime

Proof of Theorem nprmi
StepHypRef Expression
1 nprmi.1 . . 3  |-  A  e.  NN
2 nprmi.3 . . 3  |-  1  <  A
3 nprmi.2 . . 3  |-  B  e.  NN
4 nprmi.4 . . 3  |-  1  <  B
5 eluz2b2 11143 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
6 eluz2b2 11143 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )
7 nprm 14079 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  ( A  x.  B )  e.  Prime )
85, 6, 7syl2anbr 480 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )  ->  -.  ( A  x.  B
)  e.  Prime )
91, 2, 3, 4, 8mp4an 673 . 2  |-  -.  ( A  x.  B )  e.  Prime
10 nprmi.5 . . 3  |-  ( A  x.  B )  =  N
1110eleq1i 2537 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  Prime  <->  N  e.  Prime )
129, 11mtbi 298 1  |-  -.  N  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617   NNcn 10525   2c2 10574   ZZ>=cuz 11071   Primecprime 14065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-dvds 13837  df-prm 14066
This theorem is referenced by:  dec5nprm  14400  dec2nprm  14401  4nprm  14437  6nprm  14442  8nprm  14444  9nprm  14445  10nprm  14446  prmlem2  14452
  Copyright terms: Public domain W3C validator