MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nprmi Structured version   Unicode version

Theorem nprmi 14441
Description: An inference for compositeness. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nprmi.1  |-  A  e.  NN
nprmi.2  |-  B  e.  NN
nprmi.3  |-  1  <  A
nprmi.4  |-  1  <  B
nprmi.5  |-  ( A  x.  B )  =  N
Assertion
Ref Expression
nprmi  |-  -.  N  e.  Prime

Proof of Theorem nprmi
StepHypRef Expression
1 nprmi.1 . . 3  |-  A  e.  NN
2 nprmi.3 . . 3  |-  1  <  A
3 nprmi.2 . . 3  |-  B  e.  NN
4 nprmi.4 . . 3  |-  1  <  B
5 eluz2b2 11199 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
6 eluz2b2 11199 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )
7 nprm 14440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  ( A  x.  B )  e.  Prime )
85, 6, 7syl2anbr 478 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )  ->  -.  ( A  x.  B
)  e.  Prime )
91, 2, 3, 4, 8mp4an 671 . 2  |-  -.  ( A  x.  B )  e.  Prime
10 nprmi.5 . . 3  |-  ( A  x.  B )  =  N
1110eleq1i 2479 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  Prime  <->  N  e.  Prime )
129, 11mtbi 296 1  |-  -.  N  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1c1 9523    x. cmul 9527    < clt 9658   NNcn 10576   2c2 10626   ZZ>=cuz 11127   Primecprime 14426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-dvds 14196  df-prm 14427
This theorem is referenced by:  dec5nprm  14761  dec2nprm  14762  4nprm  14799  6nprm  14804  8nprm  14806  9nprm  14807  10nprm  14808  prmlem2  14814
  Copyright terms: Public domain W3C validator