MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nppcan2 Structured version   Unicode version

Theorem nppcan2 9886
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nppcan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  ( B  +  C )
)  +  C )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem nppcan2
StepHypRef Expression
1 addcl 9604 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
213adant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
3 subsub 9885 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  +  C
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  (
( B  +  C
)  -  C ) )  =  ( ( A  -  ( B  +  C ) )  +  C ) )
42, 3syld3an2 1277 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( ( B  +  C )  -  C ) )  =  ( ( A  -  ( B  +  C
) )  +  C
) )
5 pncan 9862 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  +  C )  -  C
)  =  B )
653adant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( B  +  C
)  -  C )  =  B )
76oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( ( B  +  C )  -  C ) )  =  ( A  -  B
) )
84, 7eqtr3d 2445 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  ( B  +  C )
)  +  C )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520    + caddc 9525    - cmin 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843
This theorem is referenced by:  subsub4  9888  nppcan2d  9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator