Theorem npincppr 14501

Description: A set of nuples is included in the cartesian product of the projections of the nuples. Bourbaki E.II.32.

Hypothesis

Ref	Expression
npincppr.1	|- P = X_x e. A B

Assertion

Ref	Expression
npincppr	|- ((F C_ P /\ P e. Q) -> F C_ X_x e. A ((P pr x)"F))

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,Q

Proof of Theorem npincppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 2611	. . . . 5 |- (F C_ P <-> A.f e. F f e. P)
2		npincppr.1	. . . . . . . . . . 11 |- P = X_x e. A B
3	2	eleq2i 1961	. . . . . . . . . 10 |- (f e. P <-> f e. X_x e. A B)
4		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- f e. _V
5	4	elixp 5409	. . . . . . . . . . 11 |- (f e. X_x e. A B <-> (f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B))
6	4	elixp 5409	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f e. X_x e. A ((P pr x)"F) <-> (f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F)))
7		simpll 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B) /\ ((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F)) -> f Fn A)
8	2	eleq1i 1960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (P e. Q <-> X_x e. A B e. Q)
9	2	sseq2i 2642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (F C_ P <-> F C_ X_x e. A B)
10		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y e. F -> A.x y e. F)
11		hbcp 14500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y e. X_x e. A B -> A.x y e. X_x e. A B)
12	10, 11	hbss 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (F C_ X_x e. A B -> A.x F C_ X_x e. A B)
13		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (y e. Q -> A.x y e. Q)
14	11, 13	hbel 1996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (X_x e. A B e. Q -> A.xX_x e. A B e. Q)
15	8	albii 1346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A.x P e. Q <-> A.xX_x e. A B e. Q)
16	14, 8, 15	3imtr4i 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (P e. Q -> A.x P e. Q)
17	12, 16, 14	hb3an 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) -> A.x(F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q))
18		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (f e. F -> A.x f e. F)
19	17, 18	hban 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) -> A.x((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F))
20		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (F C_ X_x e. A B -> (f e. F -> f e. X_x e. A B))
21	2	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- X_x e. A B = P
22	21	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (f e. X_x e. A B <-> f e. P)
23		valpr 14499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((P e. Q /\ x e. A /\ f e. P) -> ((P pr x)` f) = (f` x))
24	23	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (P e. Q -> (x e. A -> (f e. P -> ((P pr x)` f) = (f` x))))
25	24	com3r 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (f e. P -> (P e. Q -> (x e. A -> ((P pr x)` f) = (f` x))))
26	22, 25	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (f e. X_x e. A B -> (P e. Q -> (x e. A -> ((P pr x)` f) = (f` x))))
27	20, 26	syl6com 64	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (f e. F -> (F C_ X_x e. A B -> (P e. Q -> (x e. A -> ((P pr x)` f) = (f` x)))))
28	27	com4l 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (F C_ X_x e. A B -> (P e. Q -> (x e. A -> (f e. F -> ((P pr x)` f) = (f` x)))))
29	28	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q) -> (x e. A -> (f e. F -> ((P pr x)` f) = (f` x))))
30	29	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) -> (x e. A -> (f e. F -> ((P pr x)` f) = (f` x))))
31	30	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) -> ((f` x) e. B -> (x e. A -> (f e. F -> ((P pr x)` f) = (f` x)))))
32	31	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ (f` x) e. B /\ x e. A) -> (f e. F -> ((P pr x)` f) = (f` x)))
33		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (g = f -> ((P pr x)` g) = ((P pr x)` f))
34	33	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (g = f -> (((P pr x)` g) = (f` x) <-> ((P pr x)` f) = (f` x)))
35	34	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((f e. F /\ ((P pr x)` f) = (f` x)) -> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x))
36	35	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (f e. F -> (((P pr x)` f) = (f` x) -> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x)))
37	32, 36	sylcom 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ (f` x) e. B /\ x e. A) -> (f e. F -> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x)))
38	37	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) -> ((f` x) e. B -> (x e. A -> (f e. F -> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x)))))
39	38	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) -> (f e. F -> (x e. A -> ((f` x) e. B -> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x)))))
40	39	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) /\ x e. A) /\ (f` x) e. B) -> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x))
41		prmapcp3 14498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((P e. Q /\ x e. A) -> (P pr x) Fn P)
42	41	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (P e. Q -> (x e. A -> (P pr x) Fn P))
43	42	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) -> (x e. A -> (P pr x) Fn P))
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) -> (x e. A -> (P pr x) Fn P))
45	44	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) /\ x e. A) -> (P pr x) Fn P)
46	45	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) /\ x e. A) /\ (f` x) e. B) -> (P pr x) Fn P)
47	21	sseq2i 2642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (F C_ X_x e. A B <-> F C_ P)
48	47	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (F C_ X_x e. A B -> F C_ P)
49	48	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) -> F C_ P)
50	49	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) -> F C_ P)
51	50	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) /\ x e. A) /\ (f` x) e. B) -> F C_ P)
52		fvelimab 4725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((P pr x) Fn P /\ F C_ P) -> ((f` x) e. ((P pr x)"F) <-> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x)))
53	46, 51, 52	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) /\ x e. A) /\ (f` x) e. B) -> ((f` x) e. ((P pr x)"F) <-> E.g e. F ((P pr x)` g) = (f` x)))
54	40, 53	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) /\ x e. A) /\ (f` x) e. B) -> (f` x) e. ((P pr x)"F))
55	54	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) /\ x e. A) -> ((f` x) e. B -> (f` x) e. ((P pr x)"F)))
56	19, 55	ralimdaa 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((F C_ X_x e. A B /\ P e. Q /\ X_x e. A B e. Q) /\ f e. F) -> (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F)))
57	56	3exp1 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (F C_ X_x e. A B -> (P e. Q -> (X_x e. A B e. Q -> (f e. F -> (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F))))))
58	9, 57	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (F C_ P -> (P e. Q -> (X_x e. A B e. Q -> (f e. F -> (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F))))))
59	58	com13 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (X_x e. A B e. Q -> (P e. Q -> (F C_ P -> (f e. F -> (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F))))))
60	8, 59	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (P e. Q -> (P e. Q -> (F C_ P -> (f e. F -> (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F))))))
61	60	pm2.43i 78	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (P e. Q -> (F C_ P -> (f e. F -> (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F)))))
62	61	imp31 389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F) -> (A.x e. A (f` x) e. B -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F)))
63	62	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. A (f` x) e. B -> (((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F) -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F)))
64	63	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B) -> (((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F) -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F)))
65	64	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B) /\ ((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F)) -> A.x e. A (f` x) e. ((P pr x)"F))
66	6, 7, 65	sylanbrc 527	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B) /\ ((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F)) -> f e. X_x e. A ((P pr x)"F))
67	66	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B) -> (((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F) -> f e. X_x e. A ((P pr x)"F)))
68	5, 67	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 |- (f e. X_x e. A B -> (((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F) -> f e. X_x e. A ((P pr x)"F)))
69	3, 68	sylbi 216	. . . . . . . . 9 |- (f e. P -> (((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F) -> f e. X_x e. A ((P pr x)"F)))
70	69	com12 14	. . . . . . . 8 |- (((P e. Q /\ F C_ P) /\ f e. F) -> (f e. P -> f e. X_x e. A ((P pr x)"F)))
71	70	ralimdvaa 2171	. . . . . . 7 |- ((P e. Q /\ F C_ P) -> (A.f e. F f e. P -> A.f e. F f e. X_x e. A ((P pr x)"F)))
72	71	ex 402	. . . . . 6 |- (P e. Q -> (F C_ P -> (A.f e. F f e. P -> A.f e. F f e. X_x e. A ((P pr x)"F))))
73	72	com13 37	. . . . 5 |- (A.f e. F f e. P -> (F C_ P -> (P e. Q -> A.f e. F f e. X_x e. A ((P pr x)"F))))
74	1, 73	sylbi 216	. . . 4 |- (F C_ P -> (F C_ P -> (P e. Q -> A.f e. F f e. X_x e. A ((P pr x)"F))))
75	74	pm2.43i 78	. . 3 |- (F C_ P -> (P e. Q -> A.f e. F f e. X_x e. A ((P pr x)"F)))
76	75	imp 377	. 2 |- ((F C_ P /\ P e. Q) -> A.f e. F f e. X_x e. A ((P pr x)"F))
77		dfss3 2611	. 2 |- (F C_ X_x e. A ((P pr x)"F) <-> A.f e. F f e. X_x e. A ((P pr x)"F))
78	76, 77	sylibr 217	1 |- ((F C_ P /\ P e. Q) -> F C_ X_x e. A ((P pr x)"F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  "cima 3989   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  X_cixp 5406   pr cpro 14489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-ixp 5407  df-pro 14491

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