Theorem npex 9394

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	|- P. e. _V

Proof of Theorem npex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 9331	. . 3 |- Q. e. _V
2	1	pwex 4577	. 2 |- ~P Q. e. _V
3		pssss 3538	. . . . 5 |- ( x C. Q. -> x C_ Q. )
4	3	ad2antlr 725	. . . 4 |- ( ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) -> x C_ Q. )
5	4	ss2abi 3511	. . 3 |- { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) } C_ { x | x C_ Q. }
6		df-np 9389	. . 3 |- P. = { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) }
7		df-pw 3957	. . 3 |- ~P Q. = { x | x C_ Q. }
8	5, 6, 7	3sstr4i 3481	. 2 |- P. C_ ~P Q.
9	2, 8	ssexi 4539	1 |- P. e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   A.wal 1403   e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059   C_ wss 3414   C. wpss 3415   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4395   Q.cnq 9260   <Q cltq 9266   P.cnp 9267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-om 6684  df-ni 9280  df-nq 9320  df-np 9389

This theorem is referenced by:  enrex  9474  axcnex  9554