MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npex Structured version   Unicode version

Theorem npex 9394
Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
npex  |-  P.  e.  _V

Proof of Theorem npex
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqex 9331 . . 3  |-  Q.  e.  _V
21pwex 4577 . 2  |-  ~P Q.  e.  _V
3 pssss 3538 . . . . 5  |-  ( x 
C.  Q.  ->  x  C_  Q. )
43ad2antlr 725 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  C.  x  /\  x  C.  Q. )  /\  A. y  e.  x  ( A. z ( z 
<Q  y  ->  z  e.  x )  /\  E. z  e.  x  y  <Q  z ) )  ->  x  C_  Q. )
54ss2abi 3511 . . 3  |-  { x  |  ( ( (/)  C.  x  /\  x  C.  Q. )  /\  A. y  e.  x  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  x )  /\  E. z  e.  x  y  <Q  z ) ) } 
C_  { x  |  x  C_  Q. }
6 df-np 9389 . . 3  |-  P.  =  { x  |  (
( (/)  C.  x  /\  x  C.  Q. )  /\  A. y  e.  x  ( A. z ( z 
<Q  y  ->  z  e.  x )  /\  E. z  e.  x  y  <Q  z ) ) }
7 df-pw 3957 . . 3  |-  ~P Q.  =  { x  |  x 
C_  Q. }
85, 6, 73sstr4i 3481 . 2  |-  P.  C_  ~P Q.
92, 8ssexi 4539 1  |-  P.  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1403    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414    C. wpss 3415   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4395   Q.cnq 9260    <Q cltq 9266   P.cnp 9267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-om 6684  df-ni 9280  df-nq 9320  df-np 9389
This theorem is referenced by:  enrex  9474  axcnex  9554
  Copyright terms: Public domain W3C validator