Theorem npex 9259

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	|- P. e. _V

Proof of Theorem npex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 9196	. . 3 |- Q. e. _V
2	1	pwex 4576	. 2 |- ~P Q. e. _V
3		pssss 3552	. . . . 5 |- ( x C. Q. -> x C_ Q. )
4	3	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) -> x C_ Q. )
5	4	ss2abi 3525	. . 3 |- { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) } C_ { x | x C_ Q. }
6		df-np 9254	. . 3 |- P. = { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) }
7		df-pw 3963	. . 3 |- ~P Q. = { x | x C_ Q. }
8	5, 6, 7	3sstr4i 3496	. 2 |- P. C_ ~P Q.
9	2, 8	ssexi 4538	1 |- P. e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1368   e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071   C_ wss 3429   C. wpss 3430   (/)c0 3738   ~Pcpw 3961   class class class wbr 4393   Q.cnq 9123   <Q cltq 9129   P.cnp 9130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-om 6580  df-ni 9145  df-nq 9185  df-np 9254

This theorem is referenced by:  enrex  9341  axcnex  9418