Theorem npex 9367

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	|- P. e. _V

Proof of Theorem npex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 9304	. . 3 |- Q. e. _V
2	1	pwex 4620	. 2 |- ~P Q. e. _V
3		pssss 3584	. . . . 5 |- ( x C. Q. -> x C_ Q. )
4	3	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) -> x C_ Q. )
5	4	ss2abi 3557	. . 3 |- { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) } C_ { x | x C_ Q. }
6		df-np 9362	. . 3 |- P. = { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) }
7		df-pw 3999	. . 3 |- ~P Q. = { x | x C_ Q. }
8	5, 6, 7	3sstr4i 3528	. 2 |- P. C_ ~P Q.
9	2, 8	ssexi 4582	1 |- P. e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1381   e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   C. wpss 3462   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   class class class wbr 4437   Q.cnq 9233   <Q cltq 9239   P.cnp 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-om 6686  df-ni 9253  df-nq 9293  df-np 9362

This theorem is referenced by:  enrex  9447  axcnex  9527