Theorem npex 9418

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	|- P. e. _V

Proof of Theorem npex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 9355	. . 3 |- Q. e. _V
2	1	pwex 4607	. 2 |- ~P Q. e. _V
3		pssss 3560	. . . . 5 |- ( x C. Q. -> x C_ Q. )
4	3	ad2antlr 731	. . . 4 |- ( ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) -> x C_ Q. )
5	4	ss2abi 3533	. . 3 |- { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) } C_ { x | x C_ Q. }
6		df-np 9413	. . 3 |- P. = { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) }
7		df-pw 3983	. . 3 |- ~P Q. = { x | x C_ Q. }
8	5, 6, 7	3sstr4i 3503	. 2 |- P. C_ ~P Q.
9	2, 8	ssexi 4569	1 |- P. e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   A.wal 1435   e. wcel 1872   {cab 2407   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   C_ wss 3436   C. wpss 3437   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   class class class wbr 4423   Q.cnq 9284   <Q cltq 9290   P.cnp 9291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-om 6707  df-ni 9304  df-nq 9344  df-np 9413

This theorem is referenced by:  enrex  9498  axcnex  9578