Theorem npcand 9719

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
npcand	|- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		npcan 9615	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 656	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276   + caddc 9281   - cmin 9591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593

This theorem is referenced by:  npcan1  9769  ltsubadd  9805  lesubadd  9807  lesub1  9829  lincmb01cmp  11424  expaddzlem  11903  bcpasc  12093  bcn2m1  12096  swrdccatwrd  12358  cshwidxmod  12436  shftuz  12554  o1dif  13103  arisum2  13319  sin01bnd  13465  moddvds  13538  dvdsexp  13585  bitscmp  13630  hashdvds  13846  vdwlem5  14042  vdwlem6  14043  vdwlem8  14045  srgbinomlem4  16631  uniioombllem3  21024  i1faddlem  21130  itg1addlem4  21136  dvcnp2  21353  ftc1lem4  21470  dgrcolem2  21700  plydivlem4  21721  aaliou3lem8  21770  dvtaylp  21794  dvntaylp0  21796  taylthlem1  21797  efif1olem4  21960  tanarg  22027  quart1  22210  basellem9  22385  chtublem  22509  logexprlim  22523  dchrptlem1  22562  lgsquadlem1  22652  mudivsum  22738  logsqvma  22750  log2sumbnd  22752  selberglem2  22754  pntrlog2bndlem5  22789  pntlem3  22817  ostth2lem2  22842  brbtwn2  23086  cusgrasize2inds  23320  fargshiftfo  23459  fzsplit3  26011  bcm1n  26012  omndmul3  26109  ballotlemfc0  26805  ballotlemfcc  26806  signstfvn  26900  dmgmaddnn0  26943  lgamgulm2  26952  gamfac  26983  ntrivcvg  27341  ntrivcvgtail  27344  prodrblem  27371  fprodser  27391  fprodm1  27406  fprodshft  27416  risefacval2  27442  fallfacval2  27443  fallfacfwd  27468  binomfallfaclem2  27472  itg2addnclem  28368  ftc1cnnclem  28390  ftc1anc  28400  caushft  28582  pellexlem6  29100  rmspecfund  29175  rmyluc  29203  jm2.18  29262  jm2.25  29273  hbtlem4  29407  fmul01lt1lem2  29691  itgsinexp  29720  stoweidlem11  29731  stoweidlem14  29734  stoweidlem26  29746  stoweidlem34  29754  wallispilem5  29789  stirlinglem5  29798  stirlinglem11  29804  stirlinglem12  29805  clwlkisclwwlklem1  30374  clwwlkel  30380  clwwlkf  30381  clwwisshclww  30396  numclwlk1lem2fo  30613  numclwwlk2  30625  bj-lsub  32315