Theorem npcand 9997

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
npcand	|- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		npcan 9891	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 665	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1437   e. wcel 1872  (class class class)co 6305   CCcc 9544   + caddc 9549   - cmin 9867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-ltxr 9687  df-sub 9869

This theorem is referenced by:  addlsub  10045  npcan1  10051  ltsubadd  10091  lesubadd  10093  lesub1  10115  lincmb01cmp  11782  expaddzlem  12321  bcpasc  12512  bcn2m1  12515  swrdccatwrd  12826  cshwidxmod  12907  shftuz  13132  o1dif  13692  arisum2  13918  ntrivcvg  13952  ntrivcvgtail  13955  prodrblem  13982  fprodser  14002  fprodm1  14020  risefacval2  14062  fallfacval2  14063  fallfacfwd  14088  binomfallfaclem2  14092  sin01bnd  14238  moddvds  14311  dvdsexp  14360  bitscmp  14411  hashdvds  14722  vdwlem5  14934  vdwlem6  14935  vdwlem8  14937  srgbinomlem4  17775  uniioombllem3  22541  i1faddlem  22649  itg1addlem4  22655  dvcnp2  22872  ftc1lem4  22989  dgrcolem2  23226  plydivlem4  23247  aaliou3lem8  23299  dvtaylp  23323  dvntaylp0  23325  taylthlem1  23326  efif1olem4  23492  tanarg  23566  quart1  23780  dmgmaddnn0  23950  lgamgulm2  23959  gamfac  23990  basellem9  24013  chtublem  24137  logexprlim  24151  dchrptlem1  24190  lgsquadlem1  24280  mudivsum  24366  logsqvma  24378  log2sumbnd  24380  selberglem2  24382  pntrlog2bndlem5  24417  pntlem3  24445  ostth2lem2  24470  brbtwn2  24933  cusgrasize2inds  25203  fargshiftfo  25364  clwlkisclwwlklem1  25513  clwwlkel  25519  clwwlkf  25520  clwwisshclww  25533  numclwlk1lem2fo  25821  numclwwlk2  25833  fzspl  28374  fzsplit3  28376  bcm1n  28377  omndmul3  28483  psgnfzto1stlem  28621  ballotlemfc0  29333  ballotlemfcc  29334  signstfvn  29466  bcm1nt  30380  itg2addnclem  31957  ftc1cnnclem  31979  ftc1anc  31989  caushft  32054  pellexlem6  35648  rmspecfund  35727  rmyluc  35755  jm2.18  35813  jm2.25  35824  hbtlem4  35955  bccm1k  36661  binomcxplemwb  36667  binomcxplemnotnn0  36675  oddfl  37441  zltlesub  37449  fzisoeu  37472  fperiodmul  37476  fzdifsuc2  37484  iccshift  37568  iooshift  37572  fmul01lt1lem2  37603  limcperiod  37648  sumnnodd  37650  cncfperiod  37696  fperdvper  37730  dvbdfbdioolem2  37741  dvnmul  37758  itgsinexp  37771  itgperiod  37798  stoweidlem11  37811  stoweidlem14  37814  stoweidlem26  37826  stoweidlem34  37835  wallispilem5  37871  stirlinglem5  37880  stirlinglem11  37886  stirlinglem12  37887  dirkercncflem1  37905  fourierdlem11  37920  fourierdlem15  37924  fourierdlem26  37935  fourierdlem41  37951  fourierdlem42  37952  fourierdlem42OLD  37953  fourierdlem48  37958  fourierdlem49  37959  fourierdlem63  37973  fourierdlem64  37974  fourierdlem65  37975  fourierdlem74  37984  fourierdlem75  37985  fourierdlem79  37989  fourierdlem81  37991  fourierdlem84  37994  fourierdlem88  37998  fourierdlem90  38000  fourierdlem92  38002  fourierdlem95  38005  fourierdlem97  38007  fourierdlem103  38013  fourierdlem104  38014  fourierdlem109  38019  fourierdlem111  38021  fourierswlem  38034  fouriersw  38035  elaa2lem  38037  elaa2lemOLD  38038  etransclem23  38062  etransclem24  38063  etransclem28  38067  etransclem38  38077  nnsum4primeseven  38765  nnsum4primesevenALTV  38766  bgoldbtbndlem4  38773  bgoldbtbnd  38774  ccatpfx  38820  cusgrsize2inds  39270  m1modmmod  39945  dignn0flhalflem1  40047