Theorem npcand 9371

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
npcand	|- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		npcan 9270	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 643	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   + caddc 8949   - cmin 9247

This theorem is referenced by:  ltsubadd  9454  lesubadd  9456  lesub1  9478  lincmb01cmp  10994  expaddzlem  11378  bcpasc  11567  bcn2m1  11570  shftuz  11839  o1dif  12378  arisum2  12595  sin01bnd  12741  moddvds  12814  dvdsexp  12860  bitscmp  12905  hashdvds  13119  vdwlem5  13308  vdwlem6  13309  vdwlem8  13311  uniioombllem3  19430  i1faddlem  19538  itg1addlem4  19544  dvcnp2  19759  ftc1lem4  19876  dgrcolem2  20145  plydivlem4  20166  aaliou3lem8  20215  dvtaylp  20239  dvntaylp0  20241  taylthlem1  20242  efif1olem4  20400  tanarg  20467  quart1  20649  basellem9  20824  chtublem  20948  logexprlim  20962  dchrptlem1  21001  lgsquadlem1  21091  mudivsum  21177  logsqvma  21189  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  pntrlog2bndlem5  21228  pntlem3  21256  ostth2lem2  21281  cusgrasize2inds  21439  fargshiftfo  21578  fzspl  24102  fzsplit3  24103  bcm1n  24104  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  dmgmaddnn0  24764  lgamgulm2  24773  gamfac  24804  ntrivcvg  25178  ntrivcvgtail  25181  prodrblem  25208  fprodser  25228  fprodm1  25243  fprodshft  25253  risefacval2  25279  fallfacval2  25280  fallfacfwd  25303  binomfallfaclem2  25307  brbtwn2  25748  itg2addnclem  26155  ftc1cnnclem  26177  caushft  26357  pellexlem6  26787  rmspecfund  26862  rmyluc  26890  jm2.18  26949  jm2.25  26960  hbtlem4  27198  fmul01lt1lem2  27582  itgsinexp  27616  stoweidlem11  27627  stoweidlem14  27630  stoweidlem26  27642  stoweidlem34  27650  wallispilem5  27685  stirlinglem5  27694  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249