Theorem npcand 9735

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
npcand	|- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		npcan 9631	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1369   e. wcel 1756  (class class class)co 6103   CCcc 9292   + caddc 9297   - cmin 9607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-ltxr 9435  df-sub 9609

This theorem is referenced by:  npcan1  9785  ltsubadd  9821  lesubadd  9823  lesub1  9845  lincmb01cmp  11440  expaddzlem  11919  bcpasc  12109  bcn2m1  12112  swrdccatwrd  12374  cshwidxmod  12452  shftuz  12570  o1dif  13119  arisum2  13335  sin01bnd  13481  moddvds  13554  dvdsexp  13601  bitscmp  13646  hashdvds  13862  vdwlem5  14058  vdwlem6  14059  vdwlem8  14061  srgbinomlem4  16653  uniioombllem3  21077  i1faddlem  21183  itg1addlem4  21189  dvcnp2  21406  ftc1lem4  21523  dgrcolem2  21753  plydivlem4  21774  aaliou3lem8  21823  dvtaylp  21847  dvntaylp0  21849  taylthlem1  21850  efif1olem4  22013  tanarg  22080  quart1  22263  basellem9  22438  chtublem  22562  logexprlim  22576  dchrptlem1  22615  lgsquadlem1  22705  mudivsum  22791  logsqvma  22803  log2sumbnd  22805  selberglem2  22807  pntrlog2bndlem5  22842  pntlem3  22870  ostth2lem2  22895  brbtwn2  23163  cusgrasize2inds  23397  fargshiftfo  23536  fzsplit3  26090  bcm1n  26091  omndmul3  26188  ballotlemfc0  26887  ballotlemfcc  26888  signstfvn  26982  dmgmaddnn0  27025  lgamgulm2  27034  gamfac  27065  ntrivcvg  27424  ntrivcvgtail  27427  prodrblem  27454  fprodser  27474  fprodm1  27489  fprodshft  27499  risefacval2  27525  fallfacval2  27526  fallfacfwd  27551  binomfallfaclem2  27555  itg2addnclem  28455  ftc1cnnclem  28477  ftc1anc  28487  caushft  28669  pellexlem6  29187  rmspecfund  29262  rmyluc  29290  jm2.18  29349  jm2.25  29360  hbtlem4  29494  fmul01lt1lem2  29778  itgsinexp  29807  stoweidlem11  29818  stoweidlem14  29821  stoweidlem26  29833  stoweidlem34  29841  wallispilem5  29876  stirlinglem5  29885  stirlinglem11  29891  stirlinglem12  29892  clwlkisclwwlklem1  30461  clwwlkel  30467  clwwlkf  30468  clwwisshclww  30483  numclwlk1lem2fo  30700  numclwwlk2  30712  bj-lsub  32603