Theorem npcand 9848

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
npcand	|- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		npcan 9742	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 659	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1399   e. wcel 1826  (class class class)co 6196   CCcc 9401   + caddc 9406   - cmin 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-ltxr 9544  df-sub 9720

This theorem is referenced by:  addlsub  9896  npcan1  9902  ltsubadd  9940  lesubadd  9942  lesub1  9964  lincmb01cmp  11584  expaddzlem  12112  bcpasc  12301  bcn2m1  12304  swrdccatwrd  12604  cshwidxmod  12685  shftuz  12904  o1dif  13454  arisum2  13674  ntrivcvg  13708  ntrivcvgtail  13711  prodrblem  13738  fprodser  13758  fprodm1  13773  sin01bnd  13922  moddvds  13995  dvdsexp  14044  bitscmp  14090  hashdvds  14307  vdwlem5  14505  vdwlem6  14506  vdwlem8  14508  srgbinomlem4  17307  uniioombllem3  22079  i1faddlem  22185  itg1addlem4  22191  dvcnp2  22408  ftc1lem4  22525  dgrcolem2  22756  plydivlem4  22777  aaliou3lem8  22826  dvtaylp  22850  dvntaylp0  22852  taylthlem1  22853  efif1olem4  23017  tanarg  23091  quart1  23303  basellem9  23479  chtublem  23603  logexprlim  23617  dchrptlem1  23656  lgsquadlem1  23746  mudivsum  23832  logsqvma  23844  log2sumbnd  23846  selberglem2  23848  pntrlog2bndlem5  23883  pntlem3  23911  ostth2lem2  23936  brbtwn2  24329  cusgrasize2inds  24598  fargshiftfo  24759  clwlkisclwwlklem1  24908  clwwlkel  24914  clwwlkf  24915  clwwisshclww  24928  numclwlk1lem2fo  25216  numclwwlk2  25228  fzspl  27751  fzsplit3  27752  bcm1n  27753  omndmul3  27856  ballotlemfc0  28614  ballotlemfcc  28615  signstfvn  28709  dmgmaddnn0  28758  lgamgulm2  28767  gamfac  28798  risefacval2  29298  fallfacval2  29299  fallfacfwd  29324  binomfallfaclem2  29328  itg2addnclem  30232  ftc1cnnclem  30254  ftc1anc  30264  caushft  30420  pellexlem6  30935  rmspecfund  31010  rmyluc  31038  jm2.18  31096  jm2.25  31107  hbtlem4  31243  bccm1k  31415  binomcxplemwb  31421  binomcxplemnotnn0  31429  oddfl  31626  zltlesub  31635  fzisoeu  31666  fperiodmul  31670  fzdifsuc2  31678  iccshift  31724  iooshift  31728  fmul01lt1lem2  31745  limcperiod  31800  sumnnodd  31802  cncfperiod  31847  fperdvper  31881  dvbdfbdioolem2  31892  dvnmul  31906  itgsinexp  31919  itgperiod  31946  stoweidlem11  31959  stoweidlem14  31962  stoweidlem26  31974  stoweidlem34  31982  wallispilem5  32017  stirlinglem5  32026  stirlinglem11  32032  stirlinglem12  32033  dirkercncflem1  32051  fourierdlem11  32066  fourierdlem15  32070  fourierdlem26  32081  fourierdlem41  32096  fourierdlem42  32097  fourierdlem48  32103  fourierdlem49  32104  fourierdlem63  32118  fourierdlem64  32119  fourierdlem65  32120  fourierdlem74  32129  fourierdlem75  32130  fourierdlem79  32134  fourierdlem81  32136  fourierdlem84  32139  fourierdlem88  32143  fourierdlem90  32145  fourierdlem92  32147  fourierdlem95  32150  fourierdlem97  32152  fourierdlem103  32158  fourierdlem104  32159  fourierdlem109  32164  fourierdlem111  32166  fourierswlem  32179  fouriersw  32180  elaa2lem  32182  etransclem23  32206  etransclem24  32207  etransclem28  32211  etransclem38  32221  ccatpfx  32584  m1modmmod  33334  dignn0flhalflem1  33436