Theorem npcand 9940

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
npcand	|- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		npcan 9834	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1383   e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493   + caddc 9498   - cmin 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812

This theorem is referenced by:  npcan1  9991  ltsubadd  10029  lesubadd  10031  lesub1  10053  lincmb01cmp  11674  expaddzlem  12191  bcpasc  12381  bcn2m1  12384  swrdccatwrd  12675  cshwidxmod  12756  shftuz  12884  o1dif  13434  arisum2  13654  ntrivcvg  13688  ntrivcvgtail  13691  prodrblem  13718  fprodser  13738  fprodm1  13753  sin01bnd  13902  moddvds  13975  dvdsexp  14024  bitscmp  14070  hashdvds  14287  vdwlem5  14485  vdwlem6  14486  vdwlem8  14488  srgbinomlem4  17173  uniioombllem3  21972  i1faddlem  22078  itg1addlem4  22084  dvcnp2  22301  ftc1lem4  22418  dgrcolem2  22649  plydivlem4  22670  aaliou3lem8  22719  dvtaylp  22743  dvntaylp0  22745  taylthlem1  22746  efif1olem4  22910  tanarg  22982  quart1  23165  basellem9  23340  chtublem  23464  logexprlim  23478  dchrptlem1  23517  lgsquadlem1  23607  mudivsum  23693  logsqvma  23705  log2sumbnd  23707  selberglem2  23709  pntrlog2bndlem5  23744  pntlem3  23772  ostth2lem2  23797  brbtwn2  24186  cusgrasize2inds  24455  fargshiftfo  24616  clwlkisclwwlklem1  24765  clwwlkel  24771  clwwlkf  24772  clwwisshclww  24785  numclwlk1lem2fo  25073  numclwwlk2  25085  fzspl  27576  fzsplit3  27577  bcm1n  27578  omndmul3  27681  ballotlemfc0  28409  ballotlemfcc  28410  signstfvn  28504  dmgmaddnn0  28547  lgamgulm2  28556  gamfac  28587  risefacval2  29108  fallfacval2  29109  fallfacfwd  29134  binomfallfaclem2  29138  itg2addnclem  30042  ftc1cnnclem  30064  ftc1anc  30074  caushft  30230  pellexlem6  30746  rmspecfund  30821  rmyluc  30849  jm2.18  30906  jm2.25  30917  hbtlem4  31051  oddfl  31413  zltlesub  31422  fzisoeu  31454  fperiodmul  31458  fzdifsuc2  31466  iccshift  31512  iooshift  31516  fmul01lt1lem2  31533  limcperiod  31588  sumnnodd  31590  cncfperiod  31635  fperdvper  31669  dvbdfbdioolem2  31680  dvnmul  31694  itgsinexp  31707  itgperiod  31734  stoweidlem11  31747  stoweidlem14  31750  stoweidlem26  31762  stoweidlem34  31770  wallispilem5  31805  stirlinglem5  31814  stirlinglem11  31820  stirlinglem12  31821  dirkercncflem1  31839  fourierdlem11  31854  fourierdlem15  31858  fourierdlem26  31869  fourierdlem41  31884  fourierdlem42  31885  fourierdlem48  31891  fourierdlem49  31892  fourierdlem63  31906  fourierdlem64  31907  fourierdlem65  31908  fourierdlem74  31917  fourierdlem75  31918  fourierdlem79  31922  fourierdlem81  31924  fourierdlem84  31927  fourierdlem88  31931  fourierdlem90  31933  fourierdlem92  31935  fourierdlem95  31938  fourierdlem97  31940  fourierdlem103  31946  fourierdlem104  31947  fourierdlem109  31952  fourierdlem111  31954  fourierswlem  31967  fouriersw  31968  elaa2lem  31970  etransclem23  31994  etransclem24  31995  etransclem28  31999  etransclem38  32009  bj-lsub  34546