MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Structured version   Unicode version

Theorem npcan 9607
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9597 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 simpr 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31, 2addcomd 9559 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
4 pncan3 9606 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
54ancoms 450 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
63, 5eqtrd 2465 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9268    + caddc 9273    - cmin 9583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-sub 9585
This theorem is referenced by:  addsubass  9608  npncan  9618  nppcan  9619  nnpcan  9620  subcan2  9622  nnncan  9632  npcand  9711  nn1suc  10331  elnnnn0  10611  zlem1lt  10684  zltlem1  10685  peano5uzi  10718  uzindOLD  10724  nummac  10775  uzp1  10882  peano2uzr  10898  qbtwnre  11157  fz01en  11464  fzsuc2  11499  fseq1m1p1  11519  fzm1  11524  fzoss2  11561  fzoaddel2  11582  fzosplitsnm1  11592  fldiv  11683  seqm1  11807  monoord2  11821  sermono  11822  seqf1olem1  11829  seqf1olem2  11830  seqz  11838  expm1t  11876  expubnd  11908  facnn2  12044  bcm1k  12075  bcn2  12079  hashfzo  12174  hashbclem  12189  hashf1  12194  seqcoll  12200  addlenrevswrd  12314  swrdspsleq  12326  swrdlsw  12330  wrdeqcats1  12352  cshwlen  12420  cshwidxmod  12424  cshwidxm  12428  swrd2lsw  12536  shftlem  12541  shftfval  12543  seqshft  12558  iserex  13118  serf0  13142  iseralt  13146  sumrblem  13172  fsumm1  13204  fsumshft  13230  binomlem  13275  binom1dif  13279  isumsplit  13286  climcndslem1  13295  ruclem12  13506  dvdssub2  13553  4sqlem19  14007  vdwapun  14018  vdwapid1  14019  vdwlem5  14029  vdwlem8  14032  vdwnnlem2  14040  ramub1lem2  14071  1259lem4  14141  1259prm  14143  2503prm  14147  4001prm  14152  gsumccat  15499  sylow1lem1  16077  efgsres  16215  efgredleme  16220  icccvx  20364  reparphti  20411  ovolunlem1  20822  advlog  21984  cxpaddlelem  22074  ang180lem1  22090  ang180lem3  22092  asinlem2  22149  tanatan  22199  ppiub  22428  perfect1  22452  lgsquad2lem1  22582  rplogsumlem1  22618  selberg2lem  22684  logdivbnd  22690  pntrsumo1  22699  pntrsumbnd2  22701  ax5seglem3  23000  ax5seglem5  23002  axbtwnid  23008  axlowdimlem13  23023  axlowdimlem16  23026  axeuclidlem  23031  axcontlem2  23034  eupares  23419  gxsuc  23582  addinv  23662  fzspl  25900  cvmliftlem7  27028  binomrisefac  27392  predfz  27511  bpolycl  28042  bpolysum  28043  bpolydiflem  28044  bpoly2  28047  bpoly3  28048  fsumcube  28050  nndivsub  28151  ltflcei  28263  itg2addnclem3  28289  mettrifi  28497  irrapxlem1  29008  rmspecsqrnq  29092  jm2.24nn  29147  jm2.18  29182  jm2.23  29190  jm2.27c  29201  itgsinexp  29641  2elfz2melfz  30048  fzosplitprm1  30070  numclwwlkovf2ex  30525  zlmodzxzsub  30591
  Copyright terms: Public domain W3C validator