MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Structured version   Unicode version

Theorem npcan 9611
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9601 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31, 2addcomd 9563 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
4 pncan3 9610 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
54ancoms 453 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
63, 5eqtrd 2470 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272    + caddc 9277    - cmin 9587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589
This theorem is referenced by:  addsubass  9612  npncan  9622  nppcan  9623  nnpcan  9624  subcan2  9626  nnncan  9636  npcand  9715  nn1suc  10335  elnnnn0  10615  zlem1lt  10688  zltlem1  10689  peano5uzi  10722  uzindOLD  10728  nummac  10779  uzp1  10886  peano2uzr  10902  qbtwnre  11161  fz01en  11469  fzsuc2  11506  fseq1m1p1  11527  fzm1  11532  fzoss2  11569  fzoaddel2  11590  fzosplitsnm1  11600  fldiv  11691  seqm1  11815  monoord2  11829  sermono  11830  seqf1olem1  11837  seqf1olem2  11838  seqz  11846  expm1t  11884  expubnd  11916  facnn2  12052  bcm1k  12083  bcn2  12087  hashfzo  12182  hashbclem  12197  hashf1  12202  seqcoll  12208  addlenrevswrd  12322  swrdspsleq  12334  swrdlsw  12338  wrdeqcats1  12360  cshwlen  12428  cshwidxmod  12432  cshwidxm  12436  swrd2lsw  12544  shftlem  12549  shftfval  12551  seqshft  12566  iserex  13126  serf0  13150  iseralt  13154  sumrblem  13180  fsumm1  13212  mptfzshft  13237  binomlem  13284  binom1dif  13288  isumsplit  13295  climcndslem1  13304  ruclem12  13515  dvdssub2  13562  4sqlem19  14016  vdwapun  14027  vdwapid1  14028  vdwlem5  14038  vdwlem8  14041  vdwnnlem2  14049  ramub1lem2  14080  1259lem4  14150  1259prm  14152  2503prm  14156  4001prm  14161  gsumccat  15510  sylow1lem1  16088  efgsres  16226  efgredleme  16231  gsummptshft  16419  icccvx  20502  reparphti  20549  ovolunlem1  20960  advlog  22079  cxpaddlelem  22169  ang180lem1  22185  ang180lem3  22187  asinlem2  22244  tanatan  22294  ppiub  22523  perfect1  22547  lgsquad2lem1  22677  rplogsumlem1  22713  selberg2lem  22779  logdivbnd  22785  pntrsumo1  22794  pntrsumbnd2  22796  ax5seglem3  23145  ax5seglem5  23147  axbtwnid  23153  axlowdimlem13  23168  axlowdimlem16  23171  axeuclidlem  23176  axcontlem2  23179  eupares  23564  gxsuc  23727  addinv  23807  fzspl  26045  cvmliftlem7  27149  binomrisefac  27514  predfz  27633  bpolycl  28164  bpolysum  28165  bpolydiflem  28166  bpoly2  28169  bpoly3  28170  fsumcube  28172  nndivsub  28273  ltflcei  28390  itg2addnclem3  28416  mettrifi  28624  irrapxlem1  29134  rmspecsqrnq  29218  jm2.24nn  29273  jm2.18  29308  jm2.23  29316  jm2.27c  29327  itgsinexp  29766  2elfz2melfz  30173  fzosplitprm1  30195  numclwwlkovf2ex  30650  zlmodzxzsub  30726
  Copyright terms: Public domain W3C validator