MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Structured version   Unicode version

Theorem npcan 9829
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9819 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31, 2addcomd 9781 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
4 pncan3 9828 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
54ancoms 453 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
63, 5eqtrd 2508 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490    + caddc 9495    - cmin 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807
This theorem is referenced by:  addsubass  9830  npncan  9840  nppcan  9841  nnpcan  9842  subcan2  9844  nnncan  9854  npcand  9934  nn1suc  10557  elnnnn0  10839  zlem1lt  10914  zltlem1  10915  peano5uzi  10949  uzindOLD  10955  nummac  11008  uzp1  11115  peano2uzr  11136  qbtwnre  11398  fz01en  11713  fzsuc2  11737  fseq1m1p1  11753  fzm1  11758  fzoss2  11821  fzoaddel2  11842  fzosplitsnm1  11858  fzosplitprm1  11887  fldiv  11955  seqm1  12092  monoord2  12106  sermono  12107  seqf1olem1  12114  seqf1olem2  12115  seqz  12123  expm1t  12162  expubnd  12194  facnn2  12330  bcm1k  12361  bcn2  12365  hashfzo  12452  hashbclem  12467  hashf1  12472  seqcoll  12478  addlenrevswrd  12624  swrdspsleq  12636  swrdlsw  12640  wrdeqcats1  12662  cshwlen  12733  cshwidxmod  12737  cshwidxm  12741  swrd2lsw  12853  shftlem  12864  shftfval  12866  seqshft  12881  iserex  13442  serf0  13466  iseralt  13470  sumrblem  13496  fsumm1  13529  mptfzshft  13556  binomlem  13604  binom1dif  13608  isumsplit  13615  climcndslem1  13624  ruclem12  13835  dvdssub2  13882  4sqlem19  14340  vdwapun  14351  vdwapid1  14352  vdwlem5  14362  vdwlem8  14365  vdwnnlem2  14373  ramub1lem2  14404  1259lem4  14474  1259prm  14476  2503prm  14480  4001prm  14485  gsumccat  15841  sylow1lem1  16424  efgsres  16562  efgredleme  16567  gsummptshft  16759  icccvx  21213  reparphti  21260  ovolunlem1  21671  advlog  22791  cxpaddlelem  22881  ang180lem1  22897  ang180lem3  22899  asinlem2  22956  tanatan  23006  ppiub  23235  perfect1  23259  lgsquad2lem1  23389  rplogsumlem1  23425  selberg2lem  23491  logdivbnd  23497  pntrsumo1  23506  pntrsumbnd2  23508  ax5seglem3  23938  ax5seglem5  23940  axbtwnid  23946  axlowdimlem13  23961  axlowdimlem16  23964  axeuclidlem  23969  axcontlem2  23972  eupares  24679  numclwwlkovf2ex  24791  gxsuc  24978  addinv  25058  fzspl  27294  cvmliftlem7  28404  binomrisefac  28769  predfz  28888  bpolycl  29419  bpolysum  29420  bpolydiflem  29421  bpoly2  29424  bpoly3  29425  fsumcube  29427  nndivsub  29527  ltflcei  29648  itg2addnclem3  29673  mettrifi  29881  irrapxlem1  30390  rmspecsqrtnq  30474  jm2.24nn  30529  jm2.18  30562  jm2.23  30570  jm2.27c  30581  itgsinexp  31300  2elfz2melfz  31829  zlmodzxzsub  32045
  Copyright terms: Public domain W3C validator