MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Structured version   Unicode version

Theorem npcan 9848
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9838 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31, 2addcomd 9799 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
4 pncan3 9847 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
54ancoms 453 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
63, 5eqtrd 2498 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   CCcc 9507    + caddc 9512    - cmin 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826
This theorem is referenced by:  addsubass  9849  npncan  9859  nppcan  9860  nnpcan  9861  subcan2  9863  nnncan  9873  npcand  9954  nn1suc  10577  zlem1lt  10936  zltlem1  10937  peano5uzi  10972  uzindOLD  10978  nummac  11032  uzp1  11139  peano2uzr  11161  qbtwnre  11423  fz01en  11738  fzsuc2  11762  fseq1m1p1  11778  fzoss2  11851  fzoaddel2  11874  fzosplitsnm1  11892  fzosplitprm1  11921  fldiv  11989  seqm1  12126  monoord2  12140  sermono  12141  seqf1olem1  12148  seqf1olem2  12149  seqz  12157  expm1t  12196  expubnd  12228  bcm1k  12395  bcn2  12399  hashfzo  12490  hashbclem  12504  hashf1  12509  seqcoll  12515  addlenrevswrd  12672  swrdfv2  12682  swrdspsleq  12685  swrdlsw  12688  cshwlen  12781  cshwidxmod  12785  cshwidxm  12789  swrd2lsw  12901  shftlem  12912  shftfval  12914  seqshft  12929  iserex  13490  serf0  13514  iseralt  13518  sumrblem  13544  fsumm1  13577  mptfzshft  13604  binomlem  13652  binom1dif  13656  isumsplit  13663  climcndslem1  13672  ruclem12  13985  dvdssub2  14034  4sqlem19  14492  vdwapun  14503  vdwapid1  14504  vdwlem5  14514  vdwlem8  14517  vdwnnlem2  14525  ramub1lem2  14556  1259lem4  14627  1259prm  14629  2503prm  14633  4001prm  14638  gsumccat  16135  sylow1lem1  16744  efgsres  16882  efgredleme  16887  gsummptshft  17082  icccvx  21575  reparphti  21622  ovolunlem1  22033  advlog  23160  cxpaddlelem  23250  ang180lem1  23266  ang180lem3  23268  asinlem2  23325  tanatan  23375  ppiub  23604  perfect1  23628  lgsquad2lem1  23758  rplogsumlem1  23794  selberg2lem  23860  logdivbnd  23866  pntrsumo1  23875  pntrsumbnd2  23877  ax5seglem3  24360  ax5seglem5  24362  axbtwnid  24368  axlowdimlem16  24386  axeuclidlem  24391  axcontlem2  24394  eupares  25101  numclwwlkovf2ex  25212  gxsuc  25400  addinv  25480  cvmliftlem7  28911  binomrisefac  29339  predfz  29457  bpolycl  29976  bpolysum  29977  bpolydiflem  29978  bpoly2  29981  bpoly3  29982  fsumcube  29984  nndivsub  30084  ltflcei  30205  itg2addnclem3  30230  mettrifi  30412  irrapxlem1  30920  rmspecsqrtnq  31004  jm2.24nn  31059  jm2.18  31092  jm2.23  31100  jm2.27c  31111  itgsinexp  31914  addlenrevpfx  32472  2elfz2melfz  32556  zlmodzxzsub  33051
  Copyright terms: Public domain W3C validator