MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Unicode version

Theorem npcan 9270
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9261 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31, 2addcomd 9224 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
4 pncan3 9269 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
54ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
63, 5eqtrd 2436 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247
This theorem is referenced by:  addsubass  9271  npncan  9279  nppcan  9280  subcan2  9282  nnncan  9292  npcand  9371  nn1suc  9977  elnnnn0  10219  zlem1lt  10283  zltlem1  10284  peano5uzi  10314  uzindOLD  10320  nummac  10370  uzp1  10475  peano2uzr  10488  qbtwnre  10741  fz01en  11035  fzsuc2  11060  fseq1m1p1  11078  fzm1  11082  fzoss2  11118  fzoaddel2  11131  fldiv  11196  seqm1  11295  monoord2  11309  sermono  11310  seqf1olem1  11317  seqf1olem2  11318  seqz  11326  expm1t  11363  expubnd  11395  facnn2  11530  bcm1k  11561  bcn2  11565  hashfzo  11649  hashbclem  11656  hashf1  11661  seqcoll  11667  wrdeqcats1  11743  shftlem  11838  shftfval  11840  seqshft  11855  iserex  12405  serf0  12429  iseralt  12433  sumrblem  12460  fsumm1  12492  fsumshft  12518  binomlem  12563  binom1dif  12567  isumsplit  12575  climcndslem1  12584  ruclem12  12795  dvdssub2  12842  4sqlem19  13286  vdwapun  13297  vdwapid1  13298  vdwlem5  13308  vdwlem8  13311  vdwnnlem2  13319  ramub1lem2  13350  1259lem4  13408  1259prm  13410  2503prm  13414  4001prm  13419  gsumccat  14742  sylow1lem1  15187  efgsres  15325  efgredleme  15330  icccvx  18928  reparphti  18975  ovolunlem1  19346  advlog  20498  cxpaddlelem  20588  ang180lem1  20604  ang180lem3  20606  asinlem2  20662  tanatan  20712  ppiub  20941  perfect1  20965  lgsquad2lem1  21095  rplogsumlem1  21131  selberg2lem  21197  logdivbnd  21203  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd2  21214  eupares  21650  gxsuc  21813  addinv  21893  cvmliftlem7  24931  binomrisefac  25309  predfz  25417  ax5seglem3  25774  ax5seglem5  25776  axbtwnid  25782  axlowdimlem13  25797  axlowdimlem16  25800  axeuclidlem  25805  axcontlem2  25808  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  bpoly2  26007  bpoly3  26008  fsumcube  26010  nndivsub  26111  ltflcei  26140  itg2addnclem3  26157  mettrifi  26353  irrapxlem1  26775  rmspecsqrnq  26859  jm2.24nn  26914  jm2.18  26949  jm2.23  26957  jm2.27c  26968  itgsinexp  27616  fzosplitsnm1  27991  addlenrevswrd  28004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator