Theorem noxpsgn 13990

Description: The cross product of an ordinal and the singleton of a sign is a surreal.

Hypothesis

Ref	Expression
noxpsgn.1	|- X e. {1o, 2o}

Assertion

Ref	Expression
noxpsgn	|- (A e. On -> (A X. {X}) e. No )

Proof of Theorem noxpsgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noxpsgn.1	. . . . . 6 |- X e. {1o, 2o}
2	1	elisseti 2301	. . . . 5 |- X e. _V
3	2	fconst 4602	. . . 4 |- (A X. {X}):A-->{X}
4	2	snss 3122	. . . . 5 |- (X e. {1o, 2o} <-> {X} C_ {1o, 2o})
5	1, 4	mpbi 206	. . . 4 |- {X} C_ {1o, 2o}
6		fss 4571	. . . 4 |- (((A X. {X}):A-->{X} /\ {X} C_ {1o, 2o}) -> (A X. {X}):A-->{1o, 2o})
7	3, 5, 6	mp2an 761	. . 3 |- (A X. {X}):A-->{1o, 2o}
8		feq2 4552	. . . 4 |- (x = A -> ((A X. {X}):x-->{1o, 2o} <-> (A X. {X}):A-->{1o, 2o}))
9	8	rcla4ev 2381	. . 3 |- ((A e. On /\ (A X. {X}):A-->{1o, 2o}) -> E.x e. On (A X. {X}):x-->{1o, 2o})
10	7, 9	mpan2 760	. 2 |- (A e. On -> E.x e. On (A X. {X}):x-->{1o, 2o})
11		elno 13987	. 2 |- ((A X. {X}) e. No <-> E.x e. On (A X. {X}):x-->{1o, 2o})
12	10, 11	sylibr 217	1 |- (A e. On -> (A X. {X}) e. No )

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  {csn 3044  {cpr 3045  Oncon0 3657   X. cxp 3984  -->wf 3994  1oc1o 5172  2oc2o 5173   No csur 13981

This theorem is referenced by:  noxp1o 13991  noxp2o 13992  axfelem2 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-no 13984

Copyright terms: Public domain