HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normsubi Structured version   Unicode version

Theorem normsubi 26670
Description: Negative doesn't change the norm of a Hilbert space vector. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normsub.1  |-  A  e. 
~H
normsub.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
normsubi  |-  ( normh `  ( A  -h  B
) )  =  (
normh `  ( B  -h  A ) )

Proof of Theorem normsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10702 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 normsub.2 . . . 4  |-  B  e. 
~H
3 normsub.1 . . . 4  |-  A  e. 
~H
42, 3hvsubcli 26550 . . 3  |-  ( B  -h  A )  e. 
~H
51, 4norm-iii-i 26668 . 2  |-  ( normh `  ( -u 1  .h  ( B  -h  A
) ) )  =  ( ( abs `  -u 1
)  x.  ( normh `  ( B  -h  A
) ) )
62, 3hvnegdii 26591 . . 3  |-  ( -u
1  .h  ( B  -h  A ) )  =  ( A  -h  B )
76fveq2i 5875 . 2  |-  ( normh `  ( -u 1  .h  ( B  -h  A
) ) )  =  ( normh `  ( A  -h  B ) )
8 ax-1cn 9586 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
98absnegi 13430 . . . . 5  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
10 abs1 13328 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
119, 10eqtri 2449 . . . 4  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
1211oveq1i 6306 . . 3  |-  ( ( abs `  -u 1
)  x.  ( normh `  ( B  -h  A
) ) )  =  ( 1  x.  ( normh `  ( B  -h  A ) ) )
134normcli 26660 . . . . 5  |-  ( normh `  ( B  -h  A
) )  e.  RR
1413recni 9644 . . . 4  |-  ( normh `  ( B  -h  A
) )  e.  CC
1514mulid2i 9635 . . 3  |-  ( 1  x.  ( normh `  ( B  -h  A ) ) )  =  ( normh `  ( B  -h  A
) )
1612, 15eqtri 2449 . 2  |-  ( ( abs `  -u 1
)  x.  ( normh `  ( B  -h  A
) ) )  =  ( normh `  ( B  -h  A ) )
175, 7, 163eqtr3i 2457 1  |-  ( normh `  ( A  -h  B
) )  =  (
normh `  ( B  -h  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   1c1 9529    x. cmul 9533   -ucneg 9850   abscabs 13265   ~Hchil 26448    .h csm 26450   normhcno 26452    -h cmv 26454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-hfvadd 26529  ax-hvcom 26530  ax-hv0cl 26532  ax-hfvmul 26534  ax-hvmulid 26535  ax-hvmulass 26536  ax-hvdistr1 26537  ax-hvmul0 26539  ax-hfi 26608  ax-his1 26611  ax-his3 26613  ax-his4 26614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-hnorm 26497  df-hvsub 26500
This theorem is referenced by:  normsub  26672  norm3adifii  26677
  Copyright terms: Public domain W3C validator