HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpyc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem normpyc 26799
Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpyc  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( normh `  A )  <_  ( normh `  ( A  +h  B ) ) ) )

Proof of Theorem normpyc
StepHypRef Expression
1 normcl 26778 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
21resqcld 12442 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
32recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
43addid1d 9833 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  A
) ^ 2 ) )
54adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  A ) ^ 2 ) )
6 normcl 26778 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( normh `  B )  e.  RR )
76sqge0d 12443 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( normh `  B
) ^ 2 ) )
87adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  0  <_  ( ( normh `  B ) ^
2 ) )
96resqcld 12442 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( normh `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
10 0re 9643 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
11 leadd2 10083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( ( normh `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( ( normh `  B ) ^
2 )  <->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) ) )
1210, 11mp3an1 1351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( ( normh `  B ) ^
2 )  <->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) ) )
139, 2, 12syl2anr 481 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( normh `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) ) )
148, 13mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  ( ( (
normh `  A ) ^
2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) )
155, 14eqbrtrrd 4425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( (
normh `  A ) ^
2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) )
1615adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( A  .ih  B
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  A ) ^ 2 )  <_  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B
) ^ 2 ) ) )
17 normpyth 26798 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( ( normh `  ( A  +h  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  B ) ^
2 ) ) ) )
1817imp 431 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( A  .ih  B
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( A  +h  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B
) ^ 2 ) ) )
1916, 18breqtrrd 4429 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( A  .ih  B
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  A ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( A  +h  B ) ) ^
2 ) )
2019ex 436 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( ( normh `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( A  +h  B
) ) ^ 2 ) ) )
211adantr 467 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
22 hvaddcl 26665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  B
)  e.  ~H )
23 normcl 26778 . . . 4  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( A  +h  B ) )  e.  RR )
2422, 23syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  +h  B ) )  e.  RR )
25 normge0 26779 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
2625adantr 467 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  A ) )
27 normge0 26779 . . . 4  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( A  +h  B ) ) )
2822, 27syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  ( A  +h  B
) ) )
2921, 24, 26, 28le2sqd 12451 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
)  <_  ( normh `  ( A  +h  B
) )  <->  ( ( normh `  A ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( A  +h  B ) ) ^
2 ) ) )
3020, 29sylibrd 238 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( normh `  A )  <_  ( normh `  ( A  +h  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    <_ cle 9676   2c2 10659   ^cexp 12272   ~Hchil 26572    +h cva 26573    .ih csp 26575   normhcno 26576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-hfvadd 26653  ax-hv0cl 26656  ax-hvmul0 26663  ax-hfi 26732  ax-his1 26735  ax-his2 26736  ax-his3 26737  ax-his4 26738
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-hnorm 26621
This theorem is referenced by:  pjnormi  27374
  Copyright terms: Public domain W3C validator