Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpari Structured version   Unicode version

Theorem normpari 26642
 Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar.1
normpar.2
Assertion
Ref Expression
normpari

Proof of Theorem normpari
StepHypRef Expression
1 normpar.1 . . . . 5
2 normpar.2 . . . . 5
31, 2hvsubcli 26509 . . . 4
43normsqi 26620 . . 3
51, 2hvaddcli 26506 . . . 4
65normsqi 26620 . . 3
74, 6oveq12i 6317 . 2
81normsqi 26620 . . . . . 6
98oveq2i 6316 . . . . 5
101, 1hicli 26569 . . . . . 6
11102timesi 10730 . . . . 5
129, 11eqtri 2458 . . . 4
132normsqi 26620 . . . . . 6
1413oveq2i 6316 . . . . 5
152, 2hicli 26569 . . . . . 6
16152timesi 10730 . . . . 5
1714, 16eqtri 2458 . . . 4
1812, 17oveq12i 6317 . . 3
191, 2, 1, 2normlem9 26606 . . . . . 6
2010, 15addcli 9646 . . . . . . 7
211, 2hicli 26569 . . . . . . . 8
222, 1hicli 26569 . . . . . . . 8
2321, 22addcli 9646 . . . . . . 7
2420, 23negsubi 9951 . . . . . 6
2519, 24eqtr4i 2461 . . . . 5
261, 2, 1, 2normlem8 26605 . . . . 5
2725, 26oveq12i 6317 . . . 4
2823negcli 9941 . . . . 5
2920, 28, 20, 23add42i 9853 . . . 4
3023negidi 9942 . . . . . 6
3130oveq2i 6316 . . . . 5
3220, 20addcli 9646 . . . . . 6
3332addid1i 9819 . . . . 5
3410, 15, 10, 15add4i 9852 . . . . 5
3531, 33, 343eqtri 2462 . . . 4
3627, 29, 353eqtri 2462 . . 3
3718, 36eqtr4i 2461 . 2
387, 37eqtr4i 2461 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wceq 1437   wcel 1870  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9538   caddc 9541   cmul 9543   cmin 9859  cneg 9860  c2 10659  cexp 12269  chil 26407   cva 26408   csp 26410  cno 26411   cmv 26413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-hfvadd 26488  ax-hv0cl 26491  ax-hfvmul 26493  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-hnorm 26456  df-hvsub 26459 This theorem is referenced by:  normpar  26643  normpar2i  26644
 Copyright terms: Public domain W3C validator