Theorem normpari 10654

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98.

Hypotheses

Ref	Expression
normpar.1	|- A e. ~H
normpar.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
normpari	|- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))

Proof of Theorem normpari

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normpar.1	. . . . . 6 |- A e. ~H
2		normpar.2	. . . . . 6 |- B e. ~H
3	1, 2, 1, 2	normlem9 10617	. . . . 5 |- ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A)))
4	1, 1	hicli 10581	. . . . . . 7 |- (A .ih A) e. CC
5	2, 2	hicli 10581	. . . . . . 7 |- (B .ih B) e. CC
6	4, 5	addcli 6473	. . . . . 6 |- ((A .ih A) + (B .ih B)) e. CC
7	1, 2	hicli 10581	. . . . . . 7 |- (A .ih B) e. CC
8	2, 1	hicli 10581	. . . . . . 7 |- (B .ih A) e. CC
9	7, 8	addcli 6473	. . . . . 6 |- ((A .ih B) + (B .ih A)) e. CC
10	6, 9	negsubi 6538	. . . . 5 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A)))
11	3, 10	eqtr4i 1911	. . . 4 |- ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))
12	1, 2, 1, 2	normlem8 10616	. . . 4 |- ((A +h B) .ih (A +h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A)))
13	11, 12	opreq12i 4894	. . 3 |- (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) + (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A))))
14	9	negcli 6526	. . . 4 |- -u((A .ih B) + (B .ih A)) e. CC
15	6, 14, 6, 9	add42i 6497	. . 3 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) + (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A)))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))))
16	9	negidi 6537	. . . . 5 |- (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) = 0
17	16	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + 0)
18	6, 6	addcli 6473	. . . . 5 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) e. CC
19	18	addid1i 6483	. . . 4 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + 0) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B)))
20	4, 5, 4, 5	add4i 6496	. . . 4 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
21	17, 19, 20	3eqtri 1912	. . 3 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
22	13, 15, 21	3eqtri 1912	. 2 |- (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
23	1, 2	hvsubcli 10523	. . . 4 |- (A -h B) e. ~H
24	23	normsqi 10632	. . 3 |- ((normh` (A -h B))^2) = ((A -h B) .ih (A -h B))
25	1, 2	hvaddcli 10520	. . . 4 |- (A +h B) e. ~H
26	25	normsqi 10632	. . 3 |- ((normh` (A +h B))^2) = ((A +h B) .ih (A +h B))
27	24, 26	opreq12i 4894	. 2 |- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B)))
28	1	normsqi 10632	. . . . 5 |- ((normh` A)^2) = (A .ih A)
29	28	opreq2i 4893	. . . 4 |- (2 x. ((normh` A)^2)) = (2 x. (A .ih A))
30	4	2timesi 7187	. . . 4 |- (2 x. (A .ih A)) = ((A .ih A) + (A .ih A))
31	29, 30	eqtri 1908	. . 3 |- (2 x. ((normh` A)^2)) = ((A .ih A) + (A .ih A))
32	2	normsqi 10632	. . . . 5 |- ((normh` B)^2) = (B .ih B)
33	32	opreq2i 4893	. . . 4 |- (2 x. ((normh` B)^2)) = (2 x. (B .ih B))
34	5	2timesi 7187	. . . 4 |- (2 x. (B .ih B)) = ((B .ih B) + (B .ih B))
35	33, 34	eqtri 1908	. . 3 |- (2 x. ((normh` B)^2)) = ((B .ih B) + (B .ih B))
36	31, 35	opreq12i 4894	. 2 |- ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
37	22, 27, 36	3eqtr4i 1921	1 |- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  2c2 7145  ^cexp 7811  ~Hchil 10420   +h cva 10421   -h cmv 10424   .ih csp 10425  normhcno 10426

This theorem is referenced by:  normpar 10655  normpar2i 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain