Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem1 Unicode version

Theorem normlem1 22565
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1
normlem1.2
normlem1.3
normlem1.4
normlem1.5
Assertion
Ref Expression
normlem1

Proof of Theorem normlem1
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . 4
2 normlem1.4 . . . . 5
32recni 9058 . . . 4
41, 3mulcli 9051 . . 3
5 normlem1.2 . . 3
6 normlem1.3 . . 3
74, 5, 6normlem0 22564 . 2
81, 3cjmuli 11949 . . . . . . . 8
93cjrebi 11934 . . . . . . . . . 10
102, 9mpbi 200 . . . . . . . . 9
1110oveq2i 6051 . . . . . . . 8
128, 11eqtri 2424 . . . . . . 7
1312negeqi 9255 . . . . . 6
141cjcli 11929 . . . . . . 7
1514, 3mulneg2i 9436 . . . . . 6
1613, 15eqtr4i 2427 . . . . 5
1716oveq1i 6050 . . . 4
1817oveq2i 6051 . . 3
191, 3mulneg2i 9436 . . . . . 6
2019eqcomi 2408 . . . . 5
2120oveq1i 6050 . . . 4
228oveq2i 6051 . . . . . . 7
233cjcli 11929 . . . . . . . . 9
241, 3, 14, 23mul4i 9219 . . . . . . . 8
25 normlem1.5 . . . . . . . . . . . 12
2625oveq1i 6050 . . . . . . . . . . 11
271absvalsqi 12151 . . . . . . . . . . 11
28 sq1 11431 . . . . . . . . . . 11
2926, 27, 283eqtr3i 2432 . . . . . . . . . 10
3010oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10
3129, 30oveq12i 6052 . . . . . . . . 9
323, 3mulcli 9051 . . . . . . . . . 10
3332mulid2i 9049 . . . . . . . . 9
3431, 33eqtri 2424 . . . . . . . 8
3524, 34eqtri 2424 . . . . . . 7
3622, 35eqtri 2424 . . . . . 6
373sqvali 11416 . . . . . 6
3836, 37eqtr4i 2427 . . . . 5
3938oveq1i 6050 . . . 4
4021, 39oveq12i 6052 . . 3
4118, 40oveq12i 6052 . 2
427, 41eqtri 2424 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1649   wcel 1721  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951  cneg 9248  c2 10005  cexp 11337  ccj 11856  cabs 11994  chil 22375   csm 22377   csp 22378   cmv 22381 This theorem is referenced by:  normlem4  22568 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hfvadd 22456  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulass 22463  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-hvsub 22427
 Copyright terms: Public domain W3C validator