Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem norm1exi 26896
 Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1
Assertion
Ref Expression
norm1exi
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2685 . . 3
21cbvrexv 3019 . 2
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11
43sheli 26860 . . . . . . . . . 10
5 normcl 26771 . . . . . . . . . 10
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9
76adantr 467 . . . . . . . 8
8 normne0 26776 . . . . . . . . . 10
94, 8syl 17 . . . . . . . . 9
109biimpar 488 . . . . . . . 8
117, 10rereccld 10431 . . . . . . 7
1211recnd 9666 . . . . . 6
13 simpl 459 . . . . . 6
14 shmulcl 26864 . . . . . . 7
153, 14mp3an1 1350 . . . . . 6
1612, 13, 15syl2anc 666 . . . . 5
17 norm1 26895 . . . . . 6
184, 17sylan 474 . . . . 5
19 fveq2 5863 . . . . . . 7
2019eqeq1d 2452 . . . . . 6
2120rspcev 3149 . . . . 5
2216, 18, 21syl2anc 666 . . . 4
2322rexlimiva 2874 . . 3
24 ax-1ne0 9605 . . . . . . . 8
2524neii 2625 . . . . . . 7
26 eqeq1 2454 . . . . . . 7
2725, 26mtbiri 305 . . . . . 6
283sheli 26860 . . . . . . . 8
29 norm-i 26775 . . . . . . . 8
3028, 29syl 17 . . . . . . 7
3130necon3bbid 2660 . . . . . 6
3227, 31syl5ib 223 . . . . 5
3332reximia 2852 . . . 4
34 neeq1 2685 . . . . 5
3534cbvrexv 3019 . . . 4
3633, 35sylib 200 . . 3
3723, 36impbii 191 . 2
382, 37bitri 253 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wrex 2737  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   cdiv 10266  chil 26565   csm 26567  cno 26569  c0v 26570  csh 26574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hv0cl 26649  ax-hfvmul 26651  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his3 26730  ax-his4 26731 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-hnorm 26614  df-sh 26853 This theorem is referenced by:  norm1hex  26897  pjnmopi  27794
 Copyright terms: Public domain W3C validator