HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem norm1exi 26896
Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
norm1exi  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
Distinct variable groups:    x, H    y, H

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2685 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =/=  0h  <->  z  =/=  0h ) )
21cbvrexv 3019 . 2  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11  |-  H  e.  SH
43sheli 26860 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  H  ->  z  e.  ~H )
5 normcl 26771 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
76adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  z )  e.  RR )
8 normne0 26776 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( normh `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  0h ) )
94, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  H  ->  (
( normh `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  0h ) )
109biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  z )  =/=  0 )
117, 10rereccld 10431 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  RR )
1211recnd 9666 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC )
13 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
z  e.  H )
14 shmulcl 26864 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z )  e.  H )
153, 14mp3an1 1350 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z )  e.  H )
1612, 13, 15syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  z )
)  .h  z )  e.  H )
17 norm1 26895 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 )
184, 17sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 )
19 fveq2 5863 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
)  ->  ( normh `  y )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
) ) )
2019eqeq1d 2452 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
)  ->  ( ( normh `  y )  =  1  <->  ( normh `  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 ) )
2120rspcev 3149 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normh `  z )
)  .h  z )  e.  H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
) )  =  1 )  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
2216, 18, 21syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
2322rexlimiva 2874 . . 3  |-  ( E. z  e.  H  z  =/=  0h  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
24 ax-1ne0 9605 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
2524neii 2625 . . . . . . 7  |-  -.  1  =  0
26 eqeq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  y )  =  0  <->  1  =  0 ) )
2725, 26mtbiri 305 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  -.  ( normh `  y )  =  0 )
283sheli 26860 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
29 norm-i 26775 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  =  0  <->  y  =  0h ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh `  y )  =  0  <->  y  =  0h ) )
3130necon3bbid 2660 . . . . . 6  |-  ( y  e.  H  ->  ( -.  ( normh `  y )  =  0  <->  y  =/=  0h ) )
3227, 31syl5ib 223 . . . . 5  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  y  =/=  0h ) )
3332reximia 2852 . . . 4  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
34 neeq1 2685 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =/=  0h  <->  z  =/=  0h ) )
3534cbvrexv 3019 . . . 4  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3633, 35sylib 200 . . 3  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3723, 36impbii 191 . 2  |-  ( E. z  e.  H  z  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
382, 37bitri 253 1  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   E.wrex 2737   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    / cdiv 10266   ~Hchil 26565    .h csm 26567   normhcno 26569   0hc0v 26570   SHcsh 26574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hv0cl 26649  ax-hfvmul 26651  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his3 26730  ax-his4 26731
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-hnorm 26614  df-sh 26853
This theorem is referenced by:  norm1hex  26897  pjnmopi  27794
  Copyright terms: Public domain W3C validator