Theorem norm1exi 24825

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	|- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, H   y, H

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2733	. . 3 |- ( x = z -> ( x =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
2	1	cbvrexv 3054	. 2 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 |- H e. SH
4	3	sheli 24788	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. H -> z e. ~H )
5		normcl 24699	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( normh ` z ) e. RR )
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) e. RR )
8		normne0 24704	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
9	4, 8	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
10	9	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) =/= 0 )
11	7, 10	rereccld 10272	. . . . . . 7 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. RR )
12	11	recnd 9526	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC )
13		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> z e. H )
14		shmulcl 24792	. . . . . . 7 |- ( ( H e. SH /\ ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
15	3, 14	mp3an1 1302	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
16	12, 13, 15	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
17		norm1 24824	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
18	4, 17	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
19		fveq2 5802	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) )
20	19	eqeq1d 2456	. . . . . 6 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( ( normh ` y ) = 1 <-> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) )
21	20	rspcev 3179	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
22	16, 18, 21	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
23	22	rexlimiva 2942	. . 3 |- ( E. z e. H z =/= 0h -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
24		ax-1ne0 9465	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
25		df-ne 2650	. . . . . . . 8 |- ( 1 =/= 0 <-> -. 1 = 0 )
26	24, 25	mpbi 208	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
27		eqeq1 2458	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
28	26, 27	mtbiri 303	. . . . . 6 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> -. ( normh ` y ) = 0 )
29	3	sheli 24788	. . . . . . . 8 |- ( y e. H -> y e. ~H )
30		norm-i 24703	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
32	31	necon3bbid 2699	. . . . . 6 |- ( y e. H -> ( -. ( normh ` y ) = 0 <-> y =/= 0h ) )
33	28, 32	syl5ib 219	. . . . 5 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 1 -> y =/= 0h ) )
34	33	reximia 2927	. . . 4 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. H y =/= 0h )
35		neeq1 2733	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
36	35	cbvrexv 3054	. . . 4 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
37	34, 36	sylib 196	. . 3 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. z e. H z =/= 0h )
38	23, 37	impbii 188	. 2 |- ( E. z e. H z =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
39	2, 38	bitri 249	1 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   / cdiv 10107   ~Hchil 24493   .h csm 24495   normhcno 24497   0hc0v 24498   SHcsh 24502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hv0cl 24577  ax-hfvmul 24579  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his3 24658  ax-his4 24659

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-hnorm 24542  df-sh 24781

This theorem is referenced by:  norm1hex  24826  pjnmopi  25724