HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Unicode version

Theorem norm1exi 26295
Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
norm1exi  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
Distinct variable groups:    x, H    y, H

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2738 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =/=  0h  <->  z  =/=  0h ) )
21cbvrexv 3085 . 2  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11  |-  H  e.  SH
43sheli 26258 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  H  ->  z  e.  ~H )
5 normcl 26169 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  z )  e.  RR )
8 normne0 26174 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( normh `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  0h ) )
94, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  H  ->  (
( normh `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  0h ) )
109biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  z )  =/=  0 )
117, 10rereccld 10392 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  RR )
1211recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
z  e.  H )
14 shmulcl 26262 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z )  e.  H )
153, 14mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z )  e.  H )
1612, 13, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  z )
)  .h  z )  e.  H )
17 norm1 26294 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 )
184, 17sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 )
19 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
)  ->  ( normh `  y )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
) ) )
2019eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
)  ->  ( ( normh `  y )  =  1  <->  ( normh `  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 ) )
2120rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normh `  z )
)  .h  z )  e.  H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
) )  =  1 )  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
2216, 18, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
2322rexlimiva 2945 . . 3  |-  ( E. z  e.  H  z  =/=  0h  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
24 ax-1ne0 9578 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
2524neii 2656 . . . . . . 7  |-  -.  1  =  0
26 eqeq1 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  y )  =  0  <->  1  =  0 ) )
2725, 26mtbiri 303 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  -.  ( normh `  y )  =  0 )
283sheli 26258 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
29 norm-i 26173 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  =  0  <->  y  =  0h ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh `  y )  =  0  <->  y  =  0h ) )
3130necon3bbid 2704 . . . . . 6  |-  ( y  e.  H  ->  ( -.  ( normh `  y )  =  0  <->  y  =/=  0h ) )
3227, 31syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  y  =/=  0h ) )
3332reximia 2923 . . . 4  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
34 neeq1 2738 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =/=  0h  <->  z  =/=  0h ) )
3534cbvrexv 3085 . . . 4  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3633, 35sylib 196 . . 3  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3723, 36impbii 188 . 2  |-  ( E. z  e.  H  z  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
382, 37bitri 249 1  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    / cdiv 10227   ~Hchil 25963    .h csm 25965   normhcno 25967   0hc0v 25968   SHcsh 25972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hv0cl 26047  ax-hfvmul 26049  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his3 26128  ax-his4 26129
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-hnorm 26012  df-sh 26251
This theorem is referenced by:  norm1hex  26296  pjnmopi  27194
  Copyright terms: Public domain W3C validator