Theorem norm1exi 26295

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	|- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, H   y, H

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2738	. . 3 |- ( x = z -> ( x =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
2	1	cbvrexv 3085	. 2 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 |- H e. SH
4	3	sheli 26258	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. H -> z e. ~H )
5		normcl 26169	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( normh ` z ) e. RR )
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) e. RR )
8		normne0 26174	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
9	4, 8	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
10	9	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) =/= 0 )
11	7, 10	rereccld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. RR )
12	11	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC )
13		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> z e. H )
14		shmulcl 26262	. . . . . . 7 |- ( ( H e. SH /\ ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
15	3, 14	mp3an1 1311	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
16	12, 13, 15	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
17		norm1 26294	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
18	4, 17	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
19		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) )
20	19	eqeq1d 2459	. . . . . 6 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( ( normh ` y ) = 1 <-> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) )
21	20	rspcev 3210	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
22	16, 18, 21	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
23	22	rexlimiva 2945	. . 3 |- ( E. z e. H z =/= 0h -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
24		ax-1ne0 9578	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
25	24	neii 2656	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
26		eqeq1 2461	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
27	25, 26	mtbiri 303	. . . . . 6 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> -. ( normh ` y ) = 0 )
28	3	sheli 26258	. . . . . . . 8 |- ( y e. H -> y e. ~H )
29		norm-i 26173	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
31	30	necon3bbid 2704	. . . . . 6 |- ( y e. H -> ( -. ( normh ` y ) = 0 <-> y =/= 0h ) )
32	27, 31	syl5ib 219	. . . . 5 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 1 -> y =/= 0h ) )
33	32	reximia 2923	. . . 4 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. H y =/= 0h )
34		neeq1 2738	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
35	34	cbvrexv 3085	. . . 4 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
36	33, 35	sylib 196	. . 3 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. z e. H z =/= 0h )
37	23, 36	impbii 188	. 2 |- ( E. z e. H z =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
38	2, 37	bitri 249	1 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   E.wrex 2808   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   / cdiv 10227   ~Hchil 25963   .h csm 25965   normhcno 25967   0hc0v 25968   SHcsh 25972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hv0cl 26047  ax-hfvmul 26049  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his3 26128  ax-his4 26129

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-hnorm 26012  df-sh 26251

This theorem is referenced by:  norm1hex  26296  pjnmopi  27194