HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Unicode version

Theorem norm1exi 25982
Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
norm1exi  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
Distinct variable groups:    x, H    y, H

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2748 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =/=  0h  <->  z  =/=  0h ) )
21cbvrexv 3094 . 2  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11  |-  H  e.  SH
43sheli 25945 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  H  ->  z  e.  ~H )
5 normcl 25856 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  z )  e.  RR )
8 normne0 25861 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( normh `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  0h ) )
94, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  H  ->  (
( normh `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  0h ) )
109biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  z )  =/=  0 )
117, 10rereccld 10383 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  RR )
1211recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
z  e.  H )
14 shmulcl 25949 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z )  e.  H )
153, 14mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z )  e.  H )
1612, 13, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  z )
)  .h  z )  e.  H )
17 norm1 25981 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 )
184, 17sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 )
19 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
)  ->  ( normh `  y )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
) ) )
2019eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
)  ->  ( ( normh `  y )  =  1  <->  ( normh `  (
( 1  /  ( normh `  z ) )  .h  z ) )  =  1 ) )
2120rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normh `  z )
)  .h  z )  e.  H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normh `  z
) )  .h  z
) )  =  1 )  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
2216, 18, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( z  e.  H  /\  z  =/=  0h )  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
2322rexlimiva 2955 . . 3  |-  ( E. z  e.  H  z  =/=  0h  ->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
24 ax-1ne0 9573 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
25 df-ne 2664 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
2624, 25mpbi 208 . . . . . . 7  |-  -.  1  =  0
27 eqeq1 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  y )  =  0  <->  1  =  0 ) )
2826, 27mtbiri 303 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  -.  ( normh `  y )  =  0 )
293sheli 25945 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
30 norm-i 25860 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  =  0  <->  y  =  0h ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh `  y )  =  0  <->  y  =  0h ) )
3231necon3bbid 2714 . . . . . 6  |-  ( y  e.  H  ->  ( -.  ( normh `  y )  =  0  <->  y  =/=  0h ) )
3328, 32syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  y  =/=  0h ) )
3433reximia 2933 . . . 4  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
35 neeq1 2748 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =/=  0h  <->  z  =/=  0h ) )
3635cbvrexv 3094 . . . 4  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3734, 36sylib 196 . . 3  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. z  e.  H  z  =/=  0h )
3823, 37impbii 188 . 2  |-  ( E. z  e.  H  z  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
392, 38bitri 249 1  |-  ( E. x  e.  H  x  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    / cdiv 10218   ~Hchil 25650    .h csm 25652   normhcno 25654   0hc0v 25655   SHcsh 25659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hv0cl 25734  ax-hfvmul 25736  ax-hvmul0 25741  ax-hfi 25810  ax-his1 25813  ax-his3 25815  ax-his4 25816
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-hnorm 25699  df-sh 25938
This theorem is referenced by:  norm1hex  25983  pjnmopi  26881
  Copyright terms: Public domain W3C validator