Theorem norm1exi 25982

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	|- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, H   y, H

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2748	. . 3 |- ( x = z -> ( x =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
2	1	cbvrexv 3094	. 2 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 |- H e. SH
4	3	sheli 25945	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. H -> z e. ~H )
5		normcl 25856	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( normh ` z ) e. RR )
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) e. RR )
8		normne0 25861	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
9	4, 8	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
10	9	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) =/= 0 )
11	7, 10	rereccld 10383	. . . . . . 7 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. RR )
12	11	recnd 9634	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC )
13		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> z e. H )
14		shmulcl 25949	. . . . . . 7 |- ( ( H e. SH /\ ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
15	3, 14	mp3an1 1311	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
16	12, 13, 15	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
17		norm1 25981	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
18	4, 17	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
19		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) )
20	19	eqeq1d 2469	. . . . . 6 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( ( normh ` y ) = 1 <-> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) )
21	20	rspcev 3219	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
22	16, 18, 21	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
23	22	rexlimiva 2955	. . 3 |- ( E. z e. H z =/= 0h -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
24		ax-1ne0 9573	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
25		df-ne 2664	. . . . . . . 8 |- ( 1 =/= 0 <-> -. 1 = 0 )
26	24, 25	mpbi 208	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
27		eqeq1 2471	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
28	26, 27	mtbiri 303	. . . . . 6 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> -. ( normh ` y ) = 0 )
29	3	sheli 25945	. . . . . . . 8 |- ( y e. H -> y e. ~H )
30		norm-i 25860	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
32	31	necon3bbid 2714	. . . . . 6 |- ( y e. H -> ( -. ( normh ` y ) = 0 <-> y =/= 0h ) )
33	28, 32	syl5ib 219	. . . . 5 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 1 -> y =/= 0h ) )
34	33	reximia 2933	. . . 4 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. H y =/= 0h )
35		neeq1 2748	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
36	35	cbvrexv 3094	. . . 4 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
37	34, 36	sylib 196	. . 3 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. z e. H z =/= 0h )
38	23, 37	impbii 188	. 2 |- ( E. z e. H z =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
39	2, 38	bitri 249	1 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2818   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   / cdiv 10218   ~Hchil 25650   .h csm 25652   normhcno 25654   0hc0v 25655   SHcsh 25659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hv0cl 25734  ax-hfvmul 25736  ax-hvmul0 25741  ax-hfi 25810  ax-his1 25813  ax-his3 25815  ax-his4 25816

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-hnorm 25699  df-sh 25938

This theorem is referenced by:  norm1hex  25983  pjnmopi  26881