Theorem norm1exi 26896

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	|- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, H   y, H

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2685	. . 3 |- ( x = z -> ( x =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
2	1	cbvrexv 3019	. 2 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 |- H e. SH
4	3	sheli 26860	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. H -> z e. ~H )
5		normcl 26771	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( normh ` z ) e. RR )
7	6	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) e. RR )
8		normne0 26776	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. H -> ( ( normh ` z ) =/= 0 <-> z =/= 0h ) )
10	9	biimpar 488	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` z ) =/= 0 )
11	7, 10	rereccld 10431	. . . . . . 7 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. RR )
12	11	recnd 9666	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC )
13		simpl 459	. . . . . 6 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> z e. H )
14		shmulcl 26864	. . . . . . 7 |- ( ( H e. SH /\ ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
15	3, 14	mp3an1 1350	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) e. CC /\ z e. H ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
16	12, 13, 15	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H )
17		norm1 26895	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
18	4, 17	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 )
19		fveq2 5863	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) )
20	19	eqeq1d 2452	. . . . . 6 |- ( y = ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) -> ( ( normh ` y ) = 1 <-> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) )
21	20	rspcev 3149	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) e. H /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` z ) ) .h z ) ) = 1 ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
22	16, 18, 21	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( z e. H /\ z =/= 0h ) -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
23	22	rexlimiva 2874	. . 3 |- ( E. z e. H z =/= 0h -> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
24		ax-1ne0 9605	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
25	24	neii 2625	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
26		eqeq1 2454	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
27	25, 26	mtbiri 305	. . . . . 6 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> -. ( normh ` y ) = 0 )
28	3	sheli 26860	. . . . . . . 8 |- ( y e. H -> y e. ~H )
29		norm-i 26775	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 0 <-> y = 0h ) )
31	30	necon3bbid 2660	. . . . . 6 |- ( y e. H -> ( -. ( normh ` y ) = 0 <-> y =/= 0h ) )
32	27, 31	syl5ib 223	. . . . 5 |- ( y e. H -> ( ( normh ` y ) = 1 -> y =/= 0h ) )
33	32	reximia 2852	. . . 4 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. H y =/= 0h )
34		neeq1 2685	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y =/= 0h <-> z =/= 0h ) )
35	34	cbvrexv 3019	. . . 4 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. z e. H z =/= 0h )
36	33, 35	sylib 200	. . 3 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. z e. H z =/= 0h )
37	23, 36	impbii 191	. 2 |- ( E. z e. H z =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
38	2, 37	bitri 253	1 |- ( E. x e. H x =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   E.wrex 2737   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   / cdiv 10266   ~Hchil 26565   .h csm 26567   normhcno 26569   0hc0v 26570   SHcsh 26574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hv0cl 26649  ax-hfvmul 26651  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his3 26730  ax-his4 26731

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-hnorm 26614  df-sh 26853

This theorem is referenced by:  norm1hex  26897  pjnmopi  27794