HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1 Structured version   Unicode version

Theorem norm1 26567
Description: From any nonzero Hilbert space vector, construct a vector whose norm is 1. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  =  1 )

Proof of Theorem norm1
StepHypRef Expression
1 normcl 26442 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
21adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  RR )
3 normne0 26447 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  0h )
)
43biimpar 483 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =/=  0 )
52, 4rereccld 10411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )
65recnd 9651 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC )
7 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A  e.  ~H )
8 norm-iii 26457 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normh `  A ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
96, 7, 8syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normh `  A ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
10 normgt0 26444 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  =/=  0h  <->  0  <  (
normh `  A ) ) )
1110biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( normh `  A ) )
12 1re 9624 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
13 0le1 10115 . . . . . 6  |-  0  <_  1
14 divge0 10451 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( normh `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( normh `  A ) ) )  ->  0  <_  (
1  /  ( normh `  A ) ) )
1512, 13, 14mpanl12 680 . . . . 5  |-  ( ( ( normh `  A )  e.  RR  /\  0  < 
( normh `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normh `  A ) ) )
162, 11, 15syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
175, 16absidd 13401 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( abs `  (
1  /  ( normh `  A ) ) )  =  ( 1  / 
( normh `  A )
) )
1817oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( abs `  (
1  /  ( normh `  A ) ) )  x.  ( normh `  A
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
191recnd 9651 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  CC )
2019adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  CC )
2120, 4recid2d 10356 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( normh `  A ) )  =  1 )
229, 18, 213eqtrd 2447 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658    / cdiv 10246   abscabs 13214   ~Hchil 26236    .h csm 26238   normhcno 26240   0hc0v 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-hv0cl 26320  ax-hfvmul 26322  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his3 26401  ax-his4 26402
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-hnorm 26285
This theorem is referenced by:  norm1exi  26568  nmlnop0iALT  27313  nmbdoplbi  27342  nmcoplbi  27346  nmbdfnlbi  27367  nmcfnlbi  27370  branmfn  27423
  Copyright terms: Public domain W3C validator