Theorem norm-ii.i 10637

Description: Triangle inequality for norms. Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
norm-ii.1	|- A e. ~H
norm-ii.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
norm-ii.i	|- (normh` (A +h B)) <_ ((normh` A) + (normh` B))

Proof of Theorem norm-ii.i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 6598	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
2		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
3	2	cjrebi 8031	. . . . . . . . . . 11 |- (1 e. RR <-> (*` 1) = 1)
4	1, 3	mpbi 206	. . . . . . . . . 10 |- (*` 1) = 1
5	4	opreq1i 4892	. . . . . . . . 9 |- ((*` 1) x. (B .ih A)) = (1 x. (B .ih A))
6		norm-ii.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. ~H
7		norm-ii.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. ~H
8	6, 7	hicli 10581	. . . . . . . . . 10 |- (B .ih A) e. CC
9	8	mulid2i 6486	. . . . . . . . 9 |- (1 x. (B .ih A)) = (B .ih A)
10	5, 9	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- ((*` 1) x. (B .ih A)) = (B .ih A)
11	7, 6	hicli 10581	. . . . . . . . 9 |- (A .ih B) e. CC
12	11	mulid2i 6486	. . . . . . . 8 |- (1 x. (A .ih B)) = (A .ih B)
13	10, 12	opreq12i 4894	. . . . . . 7 |- (((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) = ((B .ih A) + (A .ih B))
14		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
15		lt01 6871	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
16	14, 1, 15	ltleii 6756	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
17	1	absidi 8112	. . . . . . . . 9 |- (0 <_ 1 -> (abs` 1) = 1)
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (abs` 1) = 1
19	2, 6, 7, 18	normlem7 10615	. . . . . . 7 |- (((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) <_ (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))))
20	13, 19	eqbrtrri 3358	. . . . . 6 |- ((B .ih A) + (A .ih B)) <_ (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))))
21		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- -u(((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) = -u(((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B)))
22	2, 6, 7, 21	normlem2 10610	. . . . . . . . 9 |- -u(((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) e. RR
23	2	cjcli 8017	. . . . . . . . . . . 12 |- (*` 1) e. CC
24	23, 8	mulcli 6474	. . . . . . . . . . 11 |- ((*` 1) x. (B .ih A)) e. CC
25	2, 11	mulcli 6474	. . . . . . . . . . 11 |- (1 x. (A .ih B)) e. CC
26	24, 25	addcli 6473	. . . . . . . . . 10 |- (((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) e. CC
27	26	negrebi 8045	. . . . . . . . 9 |- (-u(((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) e. RR <-> (((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) e. RR)
28	22, 27	mpbi 206	. . . . . . . 8 |- (((*` 1) x. (B .ih A)) + (1 x. (A .ih B))) e. RR
29	13, 28	eqeltrri 1968	. . . . . . 7 |- ((B .ih A) + (A .ih B)) e. RR
30		2re 7163	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
31		hiidge0 10597	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. ~H -> 0 <_ (A .ih A))
32	7, 31	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ (A .ih A)
33		hiidrcl 10594	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. ~H -> (A .ih A) e. RR)
34	7, 33	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (A .ih A) e. RR
35	34	sqrcli 7950	. . . . . . . . . 10 |- (0 <_ (A .ih A) -> (sqr` (A .ih A)) e. RR)
36	32, 35	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (sqr` (A .ih A)) e. RR
37		hiidge0 10597	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. ~H -> 0 <_ (B .ih B))
38	6, 37	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ (B .ih B)
39		hiidrcl 10594	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. ~H -> (B .ih B) e. RR)
40	6, 39	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (B .ih B) e. RR
41	40	sqrcli 7950	. . . . . . . . . 10 |- (0 <_ (B .ih B) -> (sqr` (B .ih B)) e. RR)
42	38, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (sqr` (B .ih B)) e. RR
43	36, 42	remulcli 6488	. . . . . . . 8 |- ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))) e. RR
44	30, 43	remulcli 6488	. . . . . . 7 |- (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B)))) e. RR
45	34, 40	readdcli 6487	. . . . . . 7 |- ((A .ih A) + (B .ih B)) e. RR
46	29, 44, 45	leadd2i 6768	. . . . . 6 |- (((B .ih A) + (A .ih B)) <_ (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B)))) <-> (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((B .ih A) + (A .ih B))) <_ (((A .ih A) + (B .ih B)) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))))))
47	20, 46	mpbi 206	. . . . 5 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((B .ih A) + (A .ih B))) <_ (((A .ih A) + (B .ih B)) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B)))))
48	7, 6, 7, 6	normlem8 10616	. . . . . 6 |- ((A +h B) .ih (A +h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A)))
49	11, 8	addcomi 6475	. . . . . . 7 |- ((A .ih B) + (B .ih A)) = ((B .ih A) + (A .ih B))
50	49	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A))) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((B .ih A) + (A .ih B)))
51	48, 50	eqtri 1908	. . . . 5 |- ((A +h B) .ih (A +h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((B .ih A) + (A .ih B)))
52	36	recni 6467	. . . . . . 7 |- (sqr` (A .ih A)) e. CC
53	42	recni 6467	. . . . . . 7 |- (sqr` (B .ih B)) e. CC
54	52, 53	binom2i 7890	. . . . . 6 |- (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2) = ((((sqr` (A .ih A))^2) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))))) + ((sqr` (B .ih B))^2))
55	52	sqcli 7860	. . . . . . 7 |- ((sqr` (A .ih A))^2) e. CC
56		2cn 7164	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
57	52, 53	mulcli 6474	. . . . . . . 8 |- ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))) e. CC
58	56, 57	mulcli 6474	. . . . . . 7 |- (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B)))) e. CC
59	53	sqcli 7860	. . . . . . 7 |- ((sqr` (B .ih B))^2) e. CC
60	55, 58, 59	add23i 6495	. . . . . 6 |- ((((sqr` (A .ih A))^2) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))))) + ((sqr` (B .ih B))^2)) = ((((sqr` (A .ih A))^2) + ((sqr` (B .ih B))^2)) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B)))))
61	34	sqsqri 7971	. . . . . . . . 9 |- (0 <_ (A .ih A) -> ((sqr` (A .ih A))^2) = (A .ih A))
62	32, 61	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((sqr` (A .ih A))^2) = (A .ih A)
63	40	sqsqri 7971	. . . . . . . . 9 |- (0 <_ (B .ih B) -> ((sqr` (B .ih B))^2) = (B .ih B))
64	38, 63	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((sqr` (B .ih B))^2) = (B .ih B)
65	62, 64	opreq12i 4894	. . . . . . 7 |- (((sqr` (A .ih A))^2) + ((sqr` (B .ih B))^2)) = ((A .ih A) + (B .ih B))
66	65	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((((sqr` (A .ih A))^2) + ((sqr` (B .ih B))^2)) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B))))) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B)))))
67	54, 60, 66	3eqtri 1912	. . . . 5 |- (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + (2 x. ((sqr` (A .ih A)) x. (sqr` (B .ih B)))))
68	47, 51, 67	3brtr4i 3365	. . . 4 |- ((A +h B) .ih (A +h B)) <_ (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2)
69	7, 6	hvaddcli 10520	. . . . . 6 |- (A +h B) e. ~H
70		hiidge0 10597	. . . . . 6 |- ((A +h B) e. ~H -> 0 <_ ((A +h B) .ih (A +h B)))
71	69, 70	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 <_ ((A +h B) .ih (A +h B))
72	36, 42	readdcli 6487	. . . . . 6 |- ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B))) e. RR
73	72	sqge0i 7873	. . . . 5 |- 0 <_ (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2)
74		hiidrcl 10594	. . . . . . 7 |- ((A +h B) e. ~H -> ((A +h B) .ih (A +h B)) e. RR)
75	69, 74	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((A +h B) .ih (A +h B)) e. RR
76	72	resqcli 7868	. . . . . 6 |- (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2) e. RR
77	75, 76	sqrlei 7957	. . . . 5 |- ((0 <_ ((A +h B) .ih (A +h B)) /\ 0 <_ (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2)) -> (((A +h B) .ih (A +h B)) <_ (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2) <-> (sqr` ((A +h B) .ih (A +h B))) <_ (sqr` (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2))))
78	71, 73, 77	mp2an 761	. . . 4 |- (((A +h B) .ih (A +h B)) <_ (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2) <-> (sqr` ((A +h B) .ih (A +h B))) <_ (sqr` (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2)))
79	68, 78	mpbi 206	. . 3 |- (sqr` ((A +h B) .ih (A +h B))) <_ (sqr` (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2))
80	34	sqrge0i 7952	. . . . . 6 |- (0 <_ (A .ih A) -> 0 <_ (sqr` (A .ih A)))
81	32, 80	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 <_ (sqr` (A .ih A))
82	40	sqrge0i 7952	. . . . . 6 |- (0 <_ (B .ih B) -> 0 <_ (sqr` (B .ih B)))
83	38, 82	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 <_ (sqr` (B .ih B))
84	36, 42	addge0i 6777	. . . . 5 |- ((0 <_ (sqr` (A .ih A)) /\ 0 <_ (sqr` (B .ih B))) -> 0 <_ ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B))))
85	81, 83, 84	mp2an 761	. . . 4 |- 0 <_ ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))
86	72	sqrsqi 7970	. . . 4 |- (0 <_ ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B))) -> (sqr` (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2)) = ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B))))
87	85, 86	ax-mp 7	. . 3 |- (sqr` (((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))^2)) = ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))
88	79, 87	breqtri 3360	. 2 |- (sqr` ((A +h B) .ih (A +h B))) <_ ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))
89		normval 10623	. . 3 |- ((A +h B) e. ~H -> (normh` (A +h B)) = (sqr` ((A +h B) .ih (A +h B))))
90	69, 89	ax-mp 7	. 2 |- (normh` (A +h B)) = (sqr` ((A +h B) .ih (A +h B)))
91		normval 10623	. . . 4 |- (A e. ~H -> (normh` A) = (sqr` (A .ih A)))
92	7, 91	ax-mp 7	. . 3 |- (normh` A) = (sqr` (A .ih A))
93		normval 10623	. . . 4 |- (B e. ~H -> (normh` B) = (sqr` (B .ih B)))
94	6, 93	ax-mp 7	. . 3 |- (normh` B) = (sqr` (B .ih B))
95	92, 94	opreq12i 4894	. 2 |- ((normh` A) + (normh` B)) = ((sqr` (A .ih A)) + (sqr` (B .ih B)))
96	88, 90, 95	3brtr4i 3365	1 |- (normh` (A +h B)) <_ ((normh` A) + (normh` B))

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446   <_ cle 6448  2c2 7145  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919  *ccj 7999  abscabs 8000  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .ih csp 10425  normhcno 10426

This theorem is referenced by:  norm-ii 10638  norm3difi 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulass 10509  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain